高中數學公式表

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乘法公式

$$\begin{array}{rcl} (a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2, \\ (a-b)^2&=&a^2-2ab+b^2, \\ a^2+b^2&=&(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab, \\ a^2-b^2&=&(a+b)(a-b), \\ (a+b)^3&=&a^3+3a^2b+3ab^2+b^3, \\ (a-b)^3&=&a^3-3a^2b+3ab^2-b^3, \\ a^3+b^3&=&(a+b)(a^2-ab+b^2), \\ a^3-b^3&=&(a-b)(a^2+ab+b^2), \\ \end{array}$$

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分點公式

	數線上 $A=x_1, B=x_2$	平面直角坐標上 $A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2)$	空間直角坐標上 $A=(x_1, y_1, z_1), B=(x_2, y_2, z_2)$
$\overline{AB}$ 線段中點 $M$ 的坐標	$M=\frac{x_1+x_2}{2}$	$M=\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$	$M=\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$
$\overline{AB}$ 線段內分點 $C$ 的坐標，其中 $\overline{AC}:\overline{CB}=m:n$	$C=\frac{x_1 n+x_2 m}{m+n}$	$C=\left(\frac{x_1 n+x_2 m}{m+n}, \frac{y_1 n+y_2 m}{m+n}\right)$	$C=\left(\frac{x_1 n+x_2 m}{m+n}, \frac{y_1 n+y_2 m}{m+n}, \frac{z_1 n+z_2 m}{m+n}\right)$

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絕對值的定義

$$|x|=\left\{ \begin{array}{ll} x, & x\geq 0; \\ -x, & x<0. \end{array} \right.$$

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絕對值的幾何意義

$|a-b|$ 表示數線上兩點 $a$ 跟 $b$ 之間的距離。

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平方再開平方根

$$\sqrt{a^2}=|a|.$$

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雙重根號

$$\begin{array}{rcl} \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}, \\ \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}. \end{array}$$

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大一新鮮人的夢

$$\begin{array}{rcl} (a+b)^2 &\neq & a^2+b^2,\\ (a\times b)^2 &=& a^2\times b^2, \\ \sqrt{a^2+b^2} &\neq & a+b, \\ \sqrt{a^2\times b^2} &= & |a|\times |b|. \end{array}$$

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無限循環小數化成分數

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算幾不等式

$$\frac{\square+\triangle}{2}\geq \sqrt{\square\triangle}$$

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指數律

• $a^m a^n=a^{m+n}$
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
• $(ab)^m=a^m b^m$
• $\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $a^{-1}=\frac{1}{a}$
• $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

另一種背法

	相乘	相除
同底	$a^m a^n=a^{m+n}$	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
同指	$(ab)^n=a^n b^n$	$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

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對數律

• $\log_{a}xy=\log_a{x}+\log_a{y}$
• $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_a{x}-\log_a{y}$
• $\log_{a}x^m=m\log_a{x}$
• $\log_{a^n}x=\frac{1}{n}\log_a{x}$
• $\log_{a}x=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}a}$
• $a^{\log_{a}x}=x$

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直線的斜率

平面上通過 $A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2)$ 兩點的直線的斜率為 $$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

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由斜率求直線的方程式

平面上通過點 $P=(x_1, y_1)$ 且斜率為 $m$ 的直線方程式為 $$y-y_1=m(x-x_1)$$

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由直線的方程式求斜率

方程式為 $y=mx+b$ 的直線斜率為 $m$。

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垂直直線的斜率關係

平面上兩直線 $L_1$ 及 $L_2$，假設直線 $L_1$ 的斜率為 $m_{L_1}$，直線 $L_2$ 的斜率為 $m_{L_2}$。

若兩直線平行，則 $m_{L_1}=m_{L_2}$。

若兩直線垂直，則 $m_{L_1}m_{L_2}=-1$。

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三角形的重心與內心坐標

$\triangle ABC$ 中，$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$，$\overline{AB}=c, \overline{BC}=a, \overline{CA}=b$，則

內心 $I$ 坐標為 $$I=\left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right)$$

重心 $G$ 坐標為 $$G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$

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點與直線的距離公式

平面上一點 $P=(x_1, y_1)$，一直線 $L:ax+by+c=0$，則點 $P$ 到直線 $L$ 的距離為 $$\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

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兩平行線的距離公式

平面上兩直線 $L_1:ax+by+c_1=0$ 及 $L_2:ax+by+c_2=0$，則兩直線的距離為 $$\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ 注意到兩直線方程的 $x, y$ 係數必須變形為相同。

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圓方程式

回憶到兩點 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ 的距離公式為 $$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$ 圓心在 $(x_1, y_1)$ 半徑為 $r$ 的圓方程式為 $$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$$

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過圓上一點的切線方程式

已知一圓圓心為 $O(a, b)$，半徑為 $r$，圓方程式為 $C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，假設圓上一點 $P(x_1, y_1)$，則過 $P$ 點且與圓 $C$ 相切的直線方程式 $L$ 求法如下：

先求 $\overline{OP}$ 的斜率 $m_{\overline{OP}}$。

因為 $\overline{OP}\perp L$，所以 $m_L m_{\overline{OP}}=-1$，由此求 $m_L$。

直線 $L$ 斜率為 $m_L$ 且通過點 $P(x_1, y_1$，由此求直線 $L$ 的斜率。

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過圓外一點的切線方程式

已知一圓圓心為 $O(a, b)$，半徑為 $r$，圓方程式為 $C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，假設圓外一點 $P(x_1, y_1)$，則過 $P$ 點且與圓 $C$ 相切的直線方程式 $L$ 求法如下：

假設直線 $L$ 的斜率為 $m$，則直線 $L$ 的方程式為 $L:y-y_1=m(x-x_1)$。

利用圓心到直線 $L$ 的距離為半徑 $r$，由此可解出 $m$。

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除法原理

被除數=除數×商數+餘數
除數>餘數
被除式=除式×商式+餘式
deg 除式>deg 餘式

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長除法與綜合除法的比較

由下面的過程可以看出長除法跟綜合除法得出的結果相同。

長除法 $$\begin{array}{rrrrrrrrr} & & a_n x^{n-1} & + & (a_{n-1}+ba_n)x^{n-2} & + & [a_{n-2}+b(a_{n-1}+ba_n)]x^{n-3} & + & \cdots \\ \hline x-b & ) & a_nx^n & + & a_{n-1}x^{n-1} & + & a_{n-2}x^{n-2} & + & \cdots \\ & & a_nx^n & - & ba_n x^{n-1} \\ \hline &&&& (a_{n-1}+ba_n)x^{n-1} & + & a_{n-2}x^{n-2} \\ &&&& (a_{n-1}+ba_n)x^{n-1} & - & b(a_{n-1}+ba_n)x^{n-2} \\ \hline &&&&&&[a_{n-2}+b(a_{n-1}+ba_n)]x^{n-2}&+&\cdots \\ \end{array}$$

綜合除法 $$\begin{array}{rrrrrrrr} a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & | &b \\ & ba_n & b(a_{n-1}+ba_n) & \cdots & | \\ \hline a_n & (a_{n-1}+ba_n) & [a_{n-2}+b(a_{n-1}+ba_n)] & \cdots \end{array}$$

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餘式定理、因式定理

$$\begin{array}{lcl} f(x)=(ax+b)Q(x)+r &\Leftrightarrow& f\left(\frac{-b}{a}\right)=r, \\ f(x)=(ax+b)Q(x) &\Leftrightarrow& f\left(\frac{-b}{a}\right)=0. \\ \end{array}$$

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函數圖形的平移

		$f(x)+1$
		↑
$f(x+1)$	←	$f(x)$	→	$f(x-1)$
		↓
		$f(x)-1$

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二次函數的頂點

二次函數 $y=f(x)=ax^2+bx+c$ 的頂點 $x$-坐標為 $\frac{-b}{2a}$

三次函數 $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 的對稱中心 $x$-坐標為 $\frac{-b}{3a}$

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三次函數圖形的分類

三次函數 $y=f(x)=ax^3+px$ 的圖形可以分成下面四類。而一般的三次函數 $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 都可以經由綜合除法或是配立方法化成形如 $y=f(x)=a(x-m)^3+p(x-m)+n$ 的樣子。

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二次函數恆正或恆負

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大域特徵與局部特徵

$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 在 $x$ 很大時，$f(x)$ 的大域特徵近似於 $ax^3$。

$y=f(x)=a(x-m)^3+s(x-m)^2+t(x-m)+u$ 在 $x$ 很靠近 $m$ 時，$f(x)$ 的局部特徵近似於 $y=t(x-m)+u$。

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等差數列、等比數列、等差級數、等比級數

	數列	級數
等差	$a_1$ $a_2=a_1+d$, $a_3=a_1+2d$ $a_4=a_1+3d$ ... $a_n=a_1+(n-1)d$	$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$
等比	$a_1$ $a_2=a_1 r$ $a_3=a_1 r^2$ $a_4=a_1 r^3$ ... $a_n=a_1 r^{n-1}$	$S_n=\frac{a_1(1-r^{n-1})}{(1-r)}$

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平方和公式、立方和公式

$$\begin{array}{ccl} 1+2+\cdots+n &=& \frac{n(n+1)}{2}, \\ 1^2+2^2+\cdots+n^2 &=& \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1), \\ 1^3+2^3+\cdots+n^3 &=& \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2. \end{array}$$

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排容原理

$$\begin{array}{rcl} n(A\cup B\cup C) &=& n(A)+n(B)+n(C) \\ && -n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(A\cap C) \\ && +n(A\cap B\cap C). \end{array}$$

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排列組合

$$P^n_r=\frac{n!}{(n-r)!}$$ 筆者的背法是，寫 $n$，然後往下寫階乘 $r$ 個（包括 $n$ 總共 $r$ 個），例如 $P^{7}_{3}=7\times 6\times 5$。 $$C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$ 筆者的背法是，寫 $n$，然後往下寫階乘 $r$ 個（包括 $n$ 總共 $r$ 個），再除以 $r!$，例如 $C^{7}_{3}=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}$。

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巴斯卡定理

$C^n_r+C^n_{r+1}=C^{n+1}_{r+1}$，上標為行，下標為列，注意到按照此編號排序，加的規則變成：上加下等於右下，一個L型。

所以這題 $C^{10}_{5}+C^{10}_{6}+C^{11}_{7}+C^{12}_{8}$ 可以用如下的表格來幫助計算並完成。

	10	11	12	13
5	$C^{10}_{5}$
6	$C^{10}_{6}$
7		$C^{11}_{7}$
8			$C^{12}_{8}$

$$C^{10}_{5}+C^{10}_{6}+C^{11}_{7}+C^{12}_{8}=C^{13}_{8}$$

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二項式定理

$$(x+y)^n=C^n_n x^n+C^n_{n-1}x^{n-1}y+C^n_{n-2}x^{n-2}y^2+\cdots +C^n_2 x^2y^{n-2}+C^n_1 xy^{n-1}+C^n_0 y^n$$

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數據平移與伸縮對各統計量的影響

數據	$+a$	$\times k$
均眾中	$+a$	$\times k$
差距	不變	$\times |k|$

均中眾表示算術平均數、中位數、眾數，差距表示標準差、全距。

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$\mu_{ax+b}=a\mu_x+b$
$\mu_{cy+d}=c\mu_y+d$

$\sigma_{ax+b}=|a|\sigma_x$
$\sigma_{cy+d}=|c|\sigma_y$

$S_{ax+b, ax+b}=a^2S_{xx}$
$S_{cy+d, cy+d}=c^2S_{yy}$
$S_{ax+b,cy+d}=acS_{xy}$

$r_{ax+b,cy+d}=\frac{ac}{|ac|}r_{x,y}$

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標準差、離均平方差、數據平方和

				$S_{xx}$
			↗		↖
		$\sigma=\sqrt{\frac{S_{xx}}{n}}$				$S_{xx}=(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-n\mu^2$
	↙						↘
$\sigma$	↔	↔	↔	$(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)=n(\sigma^2+\mu^2)$	↔	↔	↔	$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$

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相關係數與迴歸直線

相關係數 $r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}=\frac{S_{xy}}{\sqrt{n}\sigma_x \sqrt{n}\sigma_y}$
回歸直線 $y-\mu_y=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\mu_x), y-\mu_y=r\frac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\mu_x)$

算法如下
$\mu_x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$
$\mu_y=\frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}$

$x_i-\mu_x$	$y_i-\mu_y$	$(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)$	$(x_i-\mu_x)^2$	$(y_i-\mu_y)^2$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
0	0	$S_{xy}$	$S_{xx}$	$S_{yy}$

下面證明迴歸直線的公式

				$S_{xx}, S_{yy}, S_{xy}$
			↗		↖
		$S_{xx}=n\sigma_x^2$ $S_{yy}=n\sigma_y^2$				$S_{xx}=(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)-n\mu_x^2$ $S_{yy}=(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)-n\mu_y^2$ $S_{xy}=(x_1 y_1+x_2 y_2+\cdots+x_n y_n)-n\mu_x \mu_y$
	↙						↘

由此可得 $r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}=\frac{S_{xy}}{n\sigma_x\sigma_y}$。

另外，$r$ 為標準化後的數據的迴歸直線的斜率，也就是 $\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}=r\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}$，整理一下得到 $y-\mu_y=r\frac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\mu_x)$，將上面的結果代入即得到 $y-\mu_y=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\mu_x)$。

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圓周長與弧長、圓面積與扇形面積

圓	全部	部分
長度	圓周長$=2r\pi$	弧長$=2r\pi\frac{\theta}{2\pi}$
面積	圓面積$=r^2\pi$	扇形面積$=r^2\pi\frac{\theta}{2\pi}$

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三角函數

	30°	45°	60°
sin	$\frac{\sqrt{1}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}$
tan	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

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	180°-θ	-θ	180°+θ
sin	+sinθ	-sinθ	-sinθ
cos	-cosθ	+cosθ	-cosθ
tan	-tanθ	-tanθ	+tanθ

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正弦定理、餘弦定理

正弦定理 $\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R$ 其中 $R$ 為外接圓半徑	三角形面積公式 $\frac{1}{2}ab\sin{C}$ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ 其中 $s$ 為半周長 $\frac{a+b+c}{2}$	分角線長度公式 $AD^2=AB\times AC-BD\times DC$
餘弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$ $\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$	四邊形面積公式 $\frac{1}{2}(a+b)(c+d)\sin{\theta}$	中線長度公式 $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

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和角公式

$$\begin{array}{rcl} \sin{(A+B)} &=& \sin{A}\cos{B}+\sin{B}\cos{A} \\ \sin{(A-B)} &=& \sin{A}\cos{B}-\sin{B}\cos{A} \\ \cos{(A+B)} &=& \cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B} \\ \cos{(A-B)} &=& \cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B} \\ \tan{(A+B)} &=& \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}} \\ \tan{(A-B)} &=& \frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}} \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl} \sin{2\theta} &=& 2\sin{\theta}\cos{\theta} \\ \cos{2\theta} &=& \cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}=1-2\sin^2{\theta}=2\cos^2{\theta}-1 \\ \tan{2\theta} &=& \frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}} \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl} \sin{\frac{\theta}{2}} &=& \pm\sqrt{\frac{1-\cos{\theta}}{2}} \\ \cos{\frac{\theta}{2}} &=& \pm\sqrt{\frac{1+\cos{\theta}}{2}} \\ \tan{\frac{\theta}{2}} &=& \frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}} \end{array}$$ $$\begin{array}{rcl} *\sin{2\theta} &=& \frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}} \\ *\cos{2\theta} &=& \frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}} \end{array}$$

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函數圖形的伸縮

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分點公式

$$\vec{PC}=\frac{n}{m+n}\vec{PA}+\frac{m}{m+n}\vec{PB}$$

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共線定理

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三角形的四心，向量版

$I$ 為 $\triangle ABC$ 的內心，$P$ 為任一點，則 $$\vec{PI}=\frac{a}{a+b+c}\vec{PA}+\frac{b}{a+b+c}\vec{PB}+\frac{c}{a+b+c}\vec{PC}.$$ $G$ 為 $\triangle ABC$ 的重心，$P$ 為任一點，則 $$\vec{PG}=\frac{1}{3}\vec{PA}+\frac{1}{3}\vec{PB}+\frac{1}{3}\vec{PC}.$$ $O$ 為 $\triangle ABC$ 的外心，則 $$\vec{AO}\cdot \vec{AB}=\frac{1}{2}\overline{AB}^2.$$ $H$ 為 $\triangle ABC$ 的垂心，則 $$\vec{AH}\cdot \vec{AB}=\vec{AB}\cdot \vec{AC}.$$

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正射影

向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的正射影為 $$\vec{p}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}$$

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柯西不等式

$$(\square^2+\diamond^2)(\triangle^2+\circ^2)\geq (\square \triangle+\diamond \circ)^2$$

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方向向量，法向量

	$ax+by+c=0$	$x=dt+e$ $y=ft+g$
方向向量	法向量的 $x, y$ 互換，其中一個變號	$(d, f)$ ↓
法向量	↑ $(a, b)$	方向向量的 $x, y$ 互換，其中一個變號

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二階行列式、三階行列式、內積、外積

	二階行列式	三階行列式	內積	外積
定義與性質	$\vec{a}=(x_1, y_1)$ $\vec{b}=(x_2, y_2)$ $\det{\begin{bmatrix}x_1&y_1\\ x_2&y_2\end{bmatrix}}=x_1y_2-x_2y_1$	$\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$ $\vec{b}=(x_2, y_2, z_2)$ $\vec{c}=(x_3, y_3, z_3)$ $\det{\begin{bmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\end{bmatrix}}$ $=x_1y_2z_3+x_2y_3z_1+x_3y_1z_2-z_1y_2x_3-z_2y_3x_1-z_3y_1x_2$ $=x_1\det{\begin{bmatrix}y_2&z_2\\y_3&z_3\end{bmatrix}}-x_2\det{\begin{bmatrix}y_1&z_1\\ y_3&z_3\end{bmatrix}}+x_3\det{\begin{bmatrix}y_1&z_1\\y_2&z_2\end{bmatrix}}$ $=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times \vec{c})$	$\vec{a}=(x_1, y_1)$ $\vec{b}=(x_2, y_2)$ $\vec{a}\cdot \vec{b}$ $=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos{\theta}$ $=x_1x_2+y_1y_2$ $\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$ $\vec{b}=(x_2, y_2, z_2)$ $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$	$\vec{a}=(x_1, y_1, z_1)$ $\vec{b}=(x_2, y_2, z_2)$ $\vec{a}\times \vec{b}=\det{\begin{bmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\end{bmatrix}}$
幾何意義	向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 決定的平行四邊形面積為 $|\det{\begin{bmatrix}x_1&y_1\\ x_2&y_2\end{bmatrix}}|$	向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 決定的平行六面體體積為 $|\det{\begin{bmatrix}x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{bmatrix}}|$	$W=\vec{F}\cdot \vec{s}$	$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin{\theta}$

容易混淆的部分

• $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 為純量，$\vec{a}\times \vec{b}$ 為向量。
• 平行六面體體積為 $\det{\begin{bmatrix}x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\end{bmatrix}}$，外積定義為 $\vec{a}\times \vec{b}=\det{\begin{bmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\end{bmatrix}}$
• $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos{\theta}$，$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \sin{\theta}$

其它公式

• 平面上 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 三點圍成的三角形面積為 $\frac{1}{2}|\det{\begin{bmatrix}x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{bmatrix}}|$
• 平面上三線 $\left\{\begin{array}{rcl}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\\a_3x+b_3y=c_3\end{array}\right.$ 共點，則 $\det{\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}}=0$
• 空間中三向量決定的四面體體積為六面體體積的 $\frac{1}{6}$ 倍。