correlation

高中數學相關係數

一維數據

• 一維數據 $X$：$x_1, x_2, ..., x_n$
• 算術平均數 $\mu_X=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)$
• 標準差 $\sigma_X=\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\mu_X)^2+(x_2-\mu_X)^2+\cdots+(x_n-\mu_X)^2]}$

二維數據

• 二維數據 $(X, Y)$：$(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$
• 算術平均數 $\mu_X=\frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)$
• 算術平均數 $\mu_Y=\frac{1}{n}(y_1+y_2+\cdots+y_n)$
• 標準差 $\sigma_X=\sqrt{\frac{1}{n}[(x_1-\mu_X)^2+(x_2-\mu_X)^2+\cdots+(x_n-\mu_X)^2]}$
• 標準差 $\sigma_Y=\sqrt{\frac{1}{n}[(y_1-\mu_Y)^2+(y_2-\mu_Y)^2+\cdots+(y_n-\mu_Y)^2]}$
• 相關係數 $r_{X, Y}=\frac{(x_1-\mu_X)(y_1-\mu_Y)+(x_2-\mu_X)(y_2-\mu_Y)+\cdots+(x_n-\mu_X)(y_n-\mu_Y)}{n\sigma_X\sigma_Y}$
• 迴歸直線（最適合直線）方程式 $y-\mu_Y=r_{X, Y}\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}(x-\mu_X)$

範例

• 二維數據 $(X, Y)$：$(1, 2), (2, 7), (5, 6)$
• 算術平均數 $\mu_X=\frac{1}{3}(1+2+5)=2.\bar{6}$（在Microsoft Excel對應的函數為AVERAGE）
• 算術平均數 $\mu_Y=\frac{1}{3}(2+7+6)=5$（在Microsoft Excel對應的函數為AVERAGE）
• 標準差 $\sigma_X=\sqrt{\frac{1}{3}[(1-2.\bar{6})^2+(2-2.\bar{6})^2+(5-2.\bar{6})^2]}\approx 1.7$ （在Microsoft Excel對應的函數為STDEV.P）
• 標準差 $\sigma_Y=\sqrt{\frac{1}{3}[(2-5)^2+(7-5)^2+(6-5)^2]}\approx 2.16$ （在Microsoft Excel對應的函數為STDEV.P）
• 相關係數 $r_{X, Y}=\frac{(1-2.\bar{6})(2-5)+(2-2.\bar{6})(7-5)+\cdots+(5-2.\bar{6})(6-5)}{3\cdot 1.7\cdot 2.16}\approx 0.545$（在Microsoft Excel對應的函數為CORREL）
• 迴歸直線（最適合直線）方程式 $y-5=0.545\cdot\frac{2.16}{1.7}\cdot(x-2.\bar{6})=0.69(x-2.\bar{6})$