≈∩∪²³πθ°√αβ±≤≥÷≠∈∠⋅⊥∥→ ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ⁰¹²³⁴⁵⁶⁷⁸⁹ 小淳在清華求學時，每餐從台式炒飯、日式丼飯、義大利燉飯、韓國石鍋拌飯這4種餐點中擇一，且選擇餐點的習慣如下：
限制一：當天的午餐與前一天的午餐、晚餐不同。
限制二：當天的晚餐與前一天的午餐、晚餐不同。
假設 \(n\) 天內小淳選擇餐點的所有方法中，其中第 \(n\) 天的午、晚餐恰好吃相同餐點的方法數為 \(a_n\)，吃不同餐點的方法數為 \(b_n\)，\(T\) 為二階方陣且 \(\begin{bmatrix}a_n\\b_n\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}a_{n-1}\\b_{n-1}\end{bmatrix}\)，其中 \(n\) 為正整數且 \(n\geq 2\)。二階方陣 \(T\) 為何？Ans: \(\begin{bmatrix}3&2\\6&2\end{bmatrix}\)。
| 第一天 | 第二天 | |
| 午早相同 | \(a_1=4\) | \(a_2\) \(=\text{前一天午早相同方法數}\times 3\) \(+\text{前一天午早不同方法數}\times 2\) \(=3a_1+2b_1\) |
| 午早不同 | \(b_1=4\times 3=12\) | \(b_2\) \(=\text{前一天午早相同方法數}\times 3\times 2\) \(+\text{前一天午早不同方法數}\times 2\times 1\) \(=6a_1+2b_1\) |
摸彩原理：若干人依序排隊摸彩，取後不放回，在摸彩活動尚未進行之前，可計算得知每個人中獎的機率都一樣大，無論誰先誰後。
籤筒有3支中獎和8支銘謝惠顧的籤。甲、乙、丙3人依序抽籤，取後不放回，求
(1)甲中籤的機率為\(\frac{3}{11}\)
(2)乙中籤的機率為\(\frac{3}{11}\)
(3)丙中籤的機率為\(\frac{3}{11}\)
甲中獎的機率可以轉化成 \(w_1\) 或 \(w_2\) 或 \(w_3\) 排第一個的機率，也就是 \(\frac{C^3_1\times 10!}{11!}\)。
乙中獎的機率可以轉化成 \(w_1\) 或 \(w_2\) 或 \(w_3\) 排第二個的機率，也就是 \(\frac{C^3_1\times 10!}{11!}\)。
丙中獎的機率可以轉化成 \(w_1\) 或 \(w_2\) 或 \(w_3\) 排第三個的機率，也就是 \(\frac{C^3_1\times 10!}{11!}\)。
一般來說，籤筒有 \(m\) 支中獎和 \(n\) 支銘謝惠顧的籤。依序抽籤，取後不放回，求第 \(k\) 個人中籤的機率為 \(\frac{m}{m+n}\)。
來看另一題
袋中有2個黃球、3個綠球及4個紅球，逐一取出且不放回，求：
(1) 紅球最後被取完的機率為 \(\frac{4}{9}\)
(1) 紅球最後被取完的機率為 \(\frac{2}{3}\)
(1) 這題可以用排列組合的方法來思考，假設黃球編號為 \(y_1, y_2\)，綠球編號為 \(g_1, g_2, g_3\)，紅球編號為 \(r_1, r_2, r_3, r_4\)，則每一種取球結果就是這幾顆編號球的排列，所以紅球最後被取完就是 \(r_1\) 或 \(r_2\) 或 \(r_3\) 排最後一位的排法，共有 \(C^4_1\times 8!\) 種，所以紅球最後被取完的機率就是 \(\frac{C^4_1\times 8!}{9!}=\frac{4}{9}\)。
(2) 這題可以忽略綠球，我們來說明為什麼。
假設題目只有2個黃球、4個紅球，則黃球比紅球先被取完的機率就是紅球排最後一個的機率，也就是 \(\frac{C^4_1\times 5!}{6!}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)。
現在考慮有綠球的情況，一樣把這幾顆編號色球排列，我們先選出3個位置來放綠球，就是 \(P^9_3\) 種選法。剩下的位置放黃球跟紅球，這些黃球跟紅球要滿足黃球比紅球先被取完，也就是紅色球要擺在最後一個，這剛剛已經算過了，總共有 \(C^4_1\times 5!\) 種排法，所以機率是 \(\frac{C^4_1\times 5!\times P^9_3}{9!}=\frac{C^4_1\times 5!}{6!}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)。
我們可以推出一般情形下的公式。假設有 \(y\) 個黃球、\(g\) 個綠球、\(r\) 個紅球，則黃球比紅球先被取完的機率為 \[ \frac{(y+r-1)!\times C^r_1\times P^{y+g+r}_{g}}{(y+g+r)!} = \frac{(y+r-1)!\times C^r_1}{(y+r)!} \] 化簡之後等式右邊的機率相當於沒有綠球的情況下，黃球比紅球先被取完的機率。
113學測數A 將 1 到 50 這 50 個正整數平分成甲乙兩組，每組各 25 個數，使得甲組的中位數比乙組的中位數小 1。試問共有幾種分法？
x為正實數，\(x^2-3x-1=0\)，求 \(x^3+x^2+x^{-2}-x^{-3}\)? Ans: 47 解：由 \(x^2-1=3x\)，同除以 \(x\) 得 \(x-\frac{1}{x}=3\)，後面用平方和、立方差公式。
從0，1，2，3，4，5之中任取4個不同的數字排成四位數，則所有排成的四位數總和為何？
千位數是1的數字有5*4*3=60個，這些數字的千位數加起來是1000*60 千位數是2的數字有5*4*3=60個，這些數字的千位數加起來是2000*60 千位數是3的數字有5*4*3=60個，這些數字的千位數加起來是3000*60 千位數是4的數字有5*4*3=60個，這些數字的千位數加起來是4000*60 千位數是5的數字有5*4*3=60個，這些數字的千位數加起來是5000*60 以上，總和是900000 百位數是1的數字有4*4*3=48個，這些數字的百位數加起來是100*48 百位數是2的數字有4*4*3=48個，這些數字的百位數加起來是200*48 百位數是3的數字有4*4*3=48個，這些數字的百位數加起來是300*48 百位數是4的數字有4*4*3=48個，這些數字的百位數加起來是400*48 百位數是5的數字有4*4*3=48個，這些數字的百位數加起來是500*48 以上，總和是72000 十位數是1的數字有4*4*3=48個，這些數字的十位數加起來是10*48 十位數是2的數字有4*4*3=48個，這些數字的十位數加起來是20*48 十位數是3的數字有4*4*3=48個，這些數字的十位數加起來是30*48 十位數是4的數字有4*4*3=48個，這些數字的十位數加起來是40*48 十位數是5的數字有4*4*3=48個，這些數字的十位數加起來是50*48 以上，總和是7200 個位數是1的數字有4*4*3=48個，這些數字的個位數加起來是1*48 個位數是2的數字有4*4*3=48個，這些數字的個位數加起來是2*48 個位數是3的數字有4*4*3=48個，這些數字的個位數加起來是3*48 個位數是4的數字有4*4*3=48個，這些數字的個位數加起來是4*48 個位數是5的數字有4*4*3=48個，這些數字的個位數加起來是5*48 以上，總和是720 加起來是979920
| 兩點式 | \(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}, y-y_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)\) |
| 點斜式 | \(y-y_1=m(x-x_1)\) |
| 斜截式 | \(y=mx+b\)（用點斜式推） |
| 截距式 | \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)（用兩點式推） |
| 一般式 | \(ax+by+c=0\) |
數學雜題
✍️🙋♂️🙋♀️🧑🏫👨🏫👩🏫📖📅空間中有一 \(\triangle ABC\)，其中 \(A(8, -11, -2)\)，若 \(\angle B\) 與 \(\angle C\) 的內角平分線分別為 \(L_1:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{2}, L_2:\frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}\)，則直線 \(BC\) 的比例式為？
求 \(A\) 在 \(L_1\) 上的投影點 \((-2, -4, -4)\)，
求 \(A\) 對 \(L_1\) 的對稱點 \(P(-12, 3, -6)\)。
則 \(P\) 會在 \(\overleftrightarrow{BC}\) 上。
求 \(A\) 在 \(L_2\) 上的投影點 \((1, -1, 0)\)，
求 \(A\) 對 \(L_2\) 的對稱點 \(Q(-6, 9, 2)\)。
則 \(Q\) 會在 \(\overleftrightarrow{BC}\) 上。
\(BC\) 的比例式為 \(\frac{x+6}{6}=\frac{y-9}{6}=\frac{z-2}{8}\)。
空間中三個點 \(A(0, 1, 2), B(-1, 0, 3), C(1, 2, 3)\)，則三角形 \(\triangle ABC\) 的外心坐標為？
求 \(\overline{AB}\) 的中垂面為 \(2x+2y-2z=-5\)，
求 \(\overline{AC}\) 的中垂面為 \(2x+2y+2z=9\)，
求 \(\overline{BC}\) 的中垂面為 \(x+y-1=0\)，
接著求 \(A, B, C\) 所在的平面為 \(x-y+1=0\)，
求上面幾個平面的交點得 \((0, 1, \frac{7}{2})\)。
（哲毅高二下二段難題，未解決）空間中平面 \(E:-x+y+2z-10=0\)，直線 \(L:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{3}\)，直線 \(L\) 與平面 \(E\) 的交點為 \(A\)，若自直線 \(L\) 上之點 \(P\) 向平面 \(E\) 做垂線，垂足為 \(Q\)，使三角形 \(\triangle APQ\) 面積為 \(\frac{20\sqrt{2}}{3}\)，求 \(P\) 的坐標。
Cube Cross Sections
龍騰數學4A 進階卷 第8回單元7條件機率與貝氏定理 四、1 已知有寫著1、2、3、4、5的球各2顆，將其中隨機5顆放入A箱，其餘5顆放入B箱。箱子內所有球的數字乘積的個位數為箱子點數，則 (1)兩個箱子點數皆為0的機率為和？ (2)已知A箱點數為0，則兩個箱子點數皆為0的條件機率為何？ (1) 全部 減A55XXX 減B55XXX 減A(大5)1133 減A(小5)1133 減B(大5)1133 減B(小5)1133\[ \frac{C^{10}_{5}-C^8_3-C^8_3-C^2_1\times C^2_1}{C^{10}_5} \] (2)
全部 減A55奇奇奇 減B55XXX 減A(大5)1133 減A(小5)1133\[ \frac{\frac{C^{10}_{5}-C^4_3-C^8_3-C^2_1\times C^1_1}{C^{10}_5}}{\frac{C^{10}_{5}-C^8_3-C^8_3-C^2_1\times C^2_1}{C^{10}_5}} \]
國小 康軒麻辣講義 沒有是非題很棒 留白很夠 小節前面有公式整理 康軒學習講義 國中 康軒命題焦點（基礎） 康軒學習講義（基礎） 康軒麻辣講義（進階） 康軒校用A, B, C, K卷（K卷最簡單） 高中 Kuta software Delta Math [南一] 課本 學習講義 習作 每日數學 EZ講義 [翰林] 基礎講義（不是每個年級都有） 無敵講義 互動式講義（有樹狀圖） 攻頂講義（不是每個年級都有） 習作A（不是每個年級都有） 習作甲 校用A卷 校用甲卷 評量卷 進階卷 延伸卷（不是每個年級都有） 複習卷（不是每個年級都有） [龍騰] SUPER POWER SUPER習作 POWER習作 滿分題本 練習王 月考王（沒有電子資源） 學習卷 進階卷 小試身手
翰林數學2 A卷 第8回3-2排列 四、1 從0，1，2，3，4，5之中任取4個不同的數字排成四位數，則： 3. 所有排成的四位數總和為和？ 千位數是1個數字有5*4*3=60個，這些數字的千位數加起來是1000*60 千位數是1個數字有5*4*3=60個，這些數字的千位數加起來是2000*60 千位數是1個數字有5*4*3=60個，這些數字的千位數加起來是3000*60 千位數是1個數字有5*4*3=60個，這些數字的千位數加起來是4000*60 千位數是1個數字有5*4*3=60個，這些數字的千位數加起來是5000*60 以上，總和是900000 百位數是1的數字有4*4*3=48個，這些數字的百位數加起來是100*48 百位數是2的數字有4*4*3=48個，這些數字的百位數加起來是200*48 百位數是3的數字有4*4*3=48個，這些數字的百位數加起來是300*48 百位數是4的數字有4*4*3=48個，這些數字的百位數加起來是400*48 百位數是5的數字有4*4*3=48個，這些數字的百位數加起來是500*48 以上，總和是72000 十位數是1的數字有4*4*3=48個，這些數字的十位數加起來是10*48 十位數是2的數字有4*4*3=48個，這些數字的十位數加起來是20*48 十位數是3的數字有4*4*3=48個，這些數字的十位數加起來是30*48 十位數是4的數字有4*4*3=48個，這些數字的十位數加起來是40*48 十位數是5的數字有4*4*3=48個，這些數字的十位數加起來是50*48 以上，總和是7200 加起來是979920
對話式p.112, exa.8.3 正10邊形共有35條對角線，其10個頂點可決定40個直角三角形，60個頓角三角形。 考慮正十邊形的外接圓， 一個邊對應的圓心角是360°/10=36°， 一個邊對應的圓周角是36°/2=18° 選定一個點當作鈍角，這個鈍角必須包含至少6個相鄰邊對應的圓周角 （因為18°*5=90°，18°*6=108°>90°） 所以有下列1+2+3=6種可能。 這1個鈍角包含八個相鄰圓周角 這2個鈍角包含七個相鄰圓周角 這3個鈍角包含六個相鄰圓周角 所以每一個頂點當鈍角都可以決定6個鈍角三角形，而共有10個頂點，所以共有6*10=60個鈍角三角形。
國一下不等式，確定當選最少票數問題
題目：有 \(n\) 位候選人，要選出 \(m\) 位，共有 \(p\) 票，請問得幾票就確定當選？
解法：假設 \(n\) 位候選人的得票數由大到小排列為 \[x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_m \color{red}{>} x_{m+1} \geq \cdots \geq x_{n} \geq 0.\] 於是我們有 \[ \begin{array}{lcl} p &=&\underline{x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1}}+x_{m+2} \cdots +x_{n} \\ &\stackrel{x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_m \geq x_{m+1}}{\geq}& \underbrace{x_{m+1}+x_{m+1}+\cdots +x_{m+1}+x_{m+1}}_{m+1 \text{ times}}+x_{m+2}+ \cdots +x_{n} \\ &\geq& \underline{(m+1)\cdot x_{m+1}}+x_{m+2}+ \cdots +x_{n} \\ &\stackrel{\color{red}{x_{m+2}} \geq \cdots \geq x_{n} \geq 0}{\geq}& (m+1)\cdot x_{m+1}. \end{array} \] 所以 \[\frac{p}{m+1} \geq x_{m+1}.\] 只要得 \(\left\lfloor \frac{p}{m+1}\right\rfloor+1\) 票（或以上）即確定當選。其中 \(\lfloor x\rfloor\) 是地板符號，也就是取不超過 \(x\) 的最大整數。
龍騰數學4A 進階卷 第6回單元5空間中的平面 一、2 空間中6個平面Γ₁：2x+y+z=0、Γ₂：2x+y+z=8、Γ₃：x+2y+z=0、Γ₄：x+2y+z=8、Γ₅：x+y+2z=0、Γ₆：x+y+2z=8所圍成的平行六面體體積為下列哪一個選項？ Ans: 128 \[ \begin{array}{lll} \Gamma_1\cap \Gamma_3\cap \Gamma_6=\{(x_1, y_1, z_1)\}, & \text{substitute }(x_1, y_1, z_1)\text{ into }\Gamma_1, \Gamma_3, \Gamma_6, & \left\{\begin{array}{lll}2x_1+y_1+z_1=0\\x_1+2y_1+z_1=0\\x_1+y_1+2z_1=8\end{array}\right., \\ \Gamma_1\cap \Gamma_4\cap \Gamma_5=\{(x_2, y_2, z_2)\}, & \text{substitute }(x_2, y_2, z_2)\text{ into }\Gamma_1, \Gamma_4, \Gamma_5, & \left\{\begin{array}{lll}2x_2+y_2+z_2=0\\x_2+2y_2+z_2=8\\x_2+y_2+2z_2=0\end{array}\right., \\ \Gamma_2\cap \Gamma_3\cap \Gamma_5=\{(x_3, y_3, z_3)\}, & \text{substitute }(x_3, y_3, z_3)\text{ into }\Gamma_2, \Gamma_3, \Gamma_5, & \left\{\begin{array}{lll}2x_3+y_3+z_3=8\\x_3+2y_3+z_3=0\\x_3+y_3+2z_3=0\end{array}\right.. \end{array} \] Transform these equations into a matrix form \[ \begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\\z_1&z_2&z_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&0&8\\0&8&0\\8&0&0\end{bmatrix} \] Apply determinant on both sides.
99指考數甲 選填D 一個抽獎活動依排隊順序抽獎，輪到抽獎的人有一次抽獎機會，抽獎方式為丟擲一枚公正銅板，正面為中獎，反面為沒中獎。獎品有三份，活動直到三份獎品都被抽中為止。則在排第四位的人可以抽獎的情況下，排第五位的人可以抽獎的條件機率為 Ans: 11/14 第五位可抽∩第四位可抽=第五位可抽 從反面算，第五位不可抽的情形只有OOO，OOXO，OXOO，XOOO，機率分別是1/8+1/16+1/16+1/16=5/16 從反面算，第四位不可抽的情形只有OOO，機率是1/8 所求=P(第五位可抽|第四位可抽)=P(第五位可抽∩第四位可抽)/P(第四位可抽)=P(第五位可抽)/P(第四位可抽)=[1-P(第五位不可抽)]/[1-P(第四位不可抽)]影片解析
平面上n條直線，最多可以將平面分成aₙ個區域，\(a_n=\frac{n^2+n+2}{2}\)
空間中n個平面，最多可以將空間分成bₙ個區域，\(b_n=\frac{n^3+5n+6}{6}\)
aₙ稱為Lazy caterer's sequence，bₙ稱為cake number。
bₙ公式的證明簡述如下：假設空間中已經有n個平面，將空間分割成最多bₙ個區塊，現在加入第n+1個平面E。平面E會與前n個平面相交於n條直線，這n條直線會把平面E分割成 \(aₙ=\frac{n^2+n+2}{2}\) 個區域，這 \(\frac{n^2+n+2}{2}\) 個區域，又分別可以將其所在的區塊，再分別切出多一個區塊，所以可以將空間分割成最多 \(b_{n+1}=bₙ+\frac{n^2+n+2}{2}\)，個區塊。解這個遞迴就可以得到 \(bₙ=\frac{n^3+5n+6}{6}\)。讀者自己想想n=2的情形。
兩個公式的證明參考Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions。這本書有100題，上述的問題在p.13, problem 44.a及45.a，證明在p.102。problem 45.a的證明要用到44.a的結果。
$$ \begin{array}{lll} \displaystyle x&=& \displaystyle \frac{\begin{bmatrix}-3c_1&2a_1-b_1\\-3c_2&2a_2-b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&2a_1-b_1\\a_2&2a_2-b_2\end{bmatrix}} \\ &=& \displaystyle \frac{\begin{bmatrix}-3c_1&2a_1-b_1\\-3c_2&2a_2-b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&-b_1\\a_2&-b_2\end{bmatrix}} \\ &=& \displaystyle \frac{(-3)\cdot 2\cdot \begin{bmatrix}c_1&a_1\\c_2&a_2\end{bmatrix}+(-3)\cdot (-1)\cdot \begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{(-1)\cdot \begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \\ &=& \displaystyle -6\cdot \frac{\begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}-3\cdot \frac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}\\ &=& \displaystyle -6\cdot 2-3\cdot 1\\ &=& \displaystyle -15. \end{array} $$
圓內角，圓周角，圓外角，注意到圓周角是圓內角或是圓外角的特例
有兩等差數列，其前n項和之比為(3n+1):(7n-11)，則此二數列第6項的比為？
Ans: 17:33
\[
\begin{array}{ccccc}
a_1+a_{11} &=& 2a_1+10d &=& 2a_6, \\
a_2+a_{10} &=& 2a_1+10d &=& 2a_6,
\end{array}
\]
6.6+66.66+666.666+...+至第n項
\[
\begin{array}{ll}
& 6.6+66.66+666.666+\cdots+\underbrace{6\cdots 6}_{n\text{ times}}.\underbrace{6\cdots 6}_{n\text{ times}} \\
=& 6(1.1+11.11+111.111+\cdots+\underbrace{1\cdots 1}_{n\text{ times}}.\underbrace{1\cdots 1}_{n\text{ times}}) \\
=& \frac{6}{9}(9.9+99.99+999.999+\cdots+\underbrace{9\cdots 9}_{n\text{ times}}.\underbrace{9\cdots 9}_{n\text{ times}}) \\
=& \frac{6}{9}\left[\left(10-0.1\right)+\left(100-0.01\right)+\cdots +\left(1\underbrace{0\cdots 0}_{n\text{ times}}-0.\underbrace{0\cdots 0}_{n-1\text{ times}}1\right)\right] \\
=& \frac{6}{9}\left[\left(10-\frac{1}{10}\right)+\left(100-\frac{1}{100}\right)+\cdots +\left(1\underbrace{0\cdots 0}_{n\text{ times}}-\frac{1}{1\underbrace{0\cdots 0}_{n\text{ times}}}\right)\right] \\
=& \frac{6}{9}\left[\left(10-\frac{1}{10}\right)+\left(10^2-\frac{1}{10^2}\right)+\cdots +\left(10^n-\frac{1}{10^n}\right)\right] \\
\end{array}
\]
The end behavior of a polynomial
| degree\leading coefficient | positive | negative |
| even | \/ | /\ |
| odd | / | \ |
設a、b為整數，且 \(\frac{5}{a}-\frac{4}{b}=3\)，則數對(a, b)共有幾組解？Ans: 5 \[ \begin{array}{lll} \frac{5}{a}-\frac{4}{b}=3 & \Rightarrow & 5b-4a=3ab \\ & \Rightarrow & 3ab+4a-5b=0 \\ & \Rightarrow & (3a-5)(b+\frac{4}{3})=\frac{-20}{3} \\ & \Rightarrow & (3a-5)(3b+4)=-20 \end{array} \] 窮舉討論。
直角三角形整數邊長
3:4:5
6:8:10
5:12:13
15:20:25
7:24:25
8:15:17
20:21:29
高中數學第一冊第一章：絕（絕對值）、乘（乘法公式）、根（根式）、算（算幾不等式）、指對（指數與對數）
華盛頓高中數學自編教材目錄 高一上v1 第一章 數與式 1-1 數與數線 1-2 式的運算 第二章 指數與對數 2-1 指數 2-2 常用對數 第三章 多項式函數 3-1 多項式的運算與應用 3-2 簡單多項式函數及其圖形 3-3 多項式函數的圖形與多項式不等式 第四章 直線與圓 4-1 直線方程式及其圖形 4-2 直線方程式的應用 4-3 圓與直線的關係 高一下v2 第一章 數列與級數 1-1 數列與級數 1-2 數學歸納法與遞迴關係式 第二章 排列與組合 2-1 邏輯、集合與計數原理 2-2 排列 2-3 組合 2-4 機率 第三章 數據分析 3-1 一維數據分析 3-2 二維數據分析 第四章 三角比 4-1 直角三角形的三角比 4-2 廣義角的三角比 4-3 三角比性質 高二上v3 第一章 （未完成） 第二章 指數與對數函數 2-1 指數函數及其圖形 2-2 對數與對數律 2-3 對數函數及其圖形 2-4 指數與對數函數的應用 第三章 平面向量 3-1 平面向量的表示法 3-2 平面向量的內積 3-3 面積與二階行列式 高三下v4 第一章 向量空間 1-1 空間概念 1-2 空間向量的坐標表示法 1-3 空間向量的內積 1-4 外積、體積與行列式 第二章 空間中的平面與直線 2-1 平面方程式 2-2 空間直線方程式 第三章 機率 3-1 主觀機率與客觀機率 3-2 條件機率與獨立事件 3-3 貝氏定理 第四章 矩陣 4-1 高斯消去法與矩陣 4-2 矩陣的運算 4-3 矩陣的應用 華盛頓高中分班 精英班 普通班（英語資優班） 寰宇班（雙語實驗班） 國語資優班 數理資優班
指數與對數
| 底同指不同 | ||
| \(a^m a^n=a^{m+n}\) | ||
| \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) | ||
| 指同底不同 | ||
| \((ab)^n=a^n b^n\) | \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\) | \((ab)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}b^{\frac{1}{n}}\) |
| \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\) | \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) | \(\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}\) |
| 指數相乘 | ||
| \((a^m)^n=a^{mn}\) |
| Exponential | translation | Logarithmic |
| \(x=a^m\) | → | \(\log_a{x}=m\) |
| \(y=a^n\) | → | \(\log_a{y}=n\) |
| \(xy=a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) | → | \(\log_a{xy}=m+n\)\(=\log_a{x}+\log_a{y}\) |
三角函數
沒什麼規律，不好記
| 270°－θ | 180°－θ | 90°－θ | －θ | 90°＋θ | 180°＋θ | 270°＋θ | |
| sin | －cos θ | ＋sin θ | ＋cos θ | －sin θ | ＋cos θ | －sin θ | －cos θ |
| cos | －sin θ | －cos θ | ＋sin θ | ＋cos θ | －sin θ | －cos θ | ＋sin θ |
| tan | \(\frac{1}{\tan{\theta}}\) | －tan θ | \(\frac{1}{\tan{\theta}}\) | －tan θ | \(\frac{－1}{\tan{\theta}}\) | ＋tan θ | \(\frac{－1}{\tan{\theta}}\) |
| ▢－270° | ▢－180° | ▢－90° | ▢ | ▢＋90° | ▢＋180° | ▢＋270° | |
| sin | ＋cos▢ | －sin▢ | －cos▢ | ＋sin▢ | ＋cos▢ | －sin▢ | －cos▢ |
| cos | －sin▢ | －cos▢ | ＋sin▢ | ＋cos▢ | －sin▢ | －cos▢ | ＋sin▢ |
| tan | －1/tan▢ | ＋tan▢ | －1/tan▢ | ＋tan▢ | －1/tan▢ | ＋tan▢ | －1/tan▢ |
| －▢－270° | －▢－180° | －▢－90° | －▢ | －▢＋90° | －▢＋180° | －▢＋270° | |
| sin | ＋cos▢ | ＋sin▢ | －cos▢ | －sin▢ | ＋cos▢ | ＋sin▢ | －cos▢ |
| cos | ＋sin▢ | －cos▢ | －sin▢ | ＋cos▢ | ＋sin▢ | －cos▢ | －sin▢ |
| tan | ＋1/tan▢ | －tan▢ | ＋1/tan▢ | －tan▢ | ＋1/tan▢ | －tan▢ | 1/tan▢ |
Sums of Sines and Cosines
If \(A\) and \(B\) are real numbers, then \[ A\sin{x}+B\cos{x}=k\sin{(x+\phi)} \] where \(k=\sqrt{A^2+B^2}\) and \(\phi\) satisfies \[ \cos{\phi}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \text{ and } \sin{\phi}=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \]
令 \(f(x)=A\sin{x}+B\cos{x}=k\sin{(x+\phi)}\)，
當 \(\sin{x}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 及 \(\cos{x}=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 時，\(f(x)\) 有最大值 \(\sqrt{A^2+B^2}\)。
當 \(\sin{x}=\frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 及 \(\cos{x}=\frac{-B}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 時，\(f(x)\) 有最小值 \(-\sqrt{A^2+B^2}\)。
證明：當 \(x+\phi=90^{\circ}\) 時，\(\sin{(x+\phi)}=1\) 且 \(f(x)\) 有最大值 \(\sqrt{A^2+B^2}\)。
而當 \(x+\phi=90^{\circ}\) 時，\(x=90^{\circ}-\phi\) 且 \(\sin{x}=\sin{(90^{\circ}-\phi)}=\cos{\phi}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。
統計
\[ \begin{array}{lcccccccl} \text{sine} & \sin{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \cos{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} & \text{cosine} \\ \text{tangent} & \tan{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \cot{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} & \text{cotangent}\\ \text{secant} & \sec{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \csc{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} & \text{cosecant} \end{array} \] \[ \begin{array}{lcccccccl} & \sin{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \csc{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} \\ & \tan{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \cot{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} \\ & \sec{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \cos{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \end{array} \]相關係數 \(r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}\) 絕對值小於1的證明（介於-1到1之間）
由柯西不等式 \[ (a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2) \]
將 \(a_i, b_i\) 分別換成 \((x_i-\mu_x), (y_i-\mu_y)\)。
迴歸直線證明 Suppose the regression line is \(y={m}x+{c}\). We have to find \({m}\) and \({c}\) to minimize the following. \[ \begin{array}{lll} \sum_{i=1}^{n}[y_i-({m}x_i+{c})]^2 &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2y_i({m}x_i+{c})+({m}x_i+{c})^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}x_i y_i-2{c}y_i+{m}^2 x_i^2+2{m}{c}x_i+{c}^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-2{c}\sum_{i=1}^{n}y_i+{m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2{m}{c}\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}{c}^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-2n{c}\mu_y+{m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2n{m}{c}\mu_x+n{c}^2 \\ &\stackrel{\text{squre}}{=}& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}^2+2({m}\mu_x-\mu_y){c}] \\ &=& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}^2+2({m}\mu_x-\mu_y){c}+({m}\mu_x-\mu_y)^2]-n({m}\mu_x-\mu_y)^2 \\ &=& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)^2]-n{m}^2\mu_x^2+2n{m}\mu_x\mu_y-n\mu_y^2 \\ &\stackrel{\text{group x, y}}{=}& {m}^2(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\mu_x^2)-2{m}(\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-n\mu_x \mu_y)+(\sum_{i=1}^{n}y_i^2-n\mu_y^2)+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& {m}^2 S_{xx}-2{m}S_{xy}+S_{yy}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}^2-2{m}\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)+S_{yy}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}^2-2{m}\frac{S_{xy}}{S_{xx}}+\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}^2}\right)+S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+\frac{S_{xx}S_{yy}-S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2. \end{array} \] minimum occurs at \({m}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\) and \({c}=\mu_y-{m}\mu_x=\mu_y-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\mu_x\). Therefore, the regression line is \(y=mx+c=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}x+\mu_y-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\mu_x\). That is, \[ y-\mu_y=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\mu_x). \]
餘弦定理 \[ \begin{array}{rcl} \overline{CD}&=&b\cos{C},\\ \overline{AD}&=&b\sin{C},\\ \overline{DB}&=&a-b\cos{C}. \end{array} \] \[ \begin{array}{rcl} c^2 &=& \overline{AD}^2+\overline{DB}^2 \\ &=& (b\sin{C})^2+(a-b\cos{C})^2 \\ &=& b^2\sin^2{C}+a^2-2ab\cos{C}+b^2\cos^2{C} \\ &=& a^2+b^2-2ab\cos{C} \\ \cos{C}&=& \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{array} \]
算幾不等式的證明
\(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)
x的長度可以從圖中的三個直角三角形利用畢氏定理得到，也就是 \((x^2+a^2)+(x^2+b^2)=(a+b)^2\)。
設正實數a的純小數部分為b，已知a+b²=n，n為整數，求b
因為0<b<1，所以0<b²<1且n-1<a=n-b²<n，由此知a的整數部分為n-1。將a=(n-1)+b代入a+b²=n，得b²+b-1=0，解得b=(-1+√5)/2
91學測
若實數 \(a, b, c\) 滿足 \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\)，則下列選項何者為真？ (1) \(a>0\) (2) \(b>0\) (3) \(c>0\) (4) \(|a|>|b|\) (5) \(a^2>c^2\)
Ans: (1)(4)(5)
翰林校用卷A卷第一冊1-1
設三實數 \(a, b, c\) 滿足條件： \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\)，試求 \(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}-\frac{a+b}{|a+b|}-\frac{b+c}{|b+c|}-\frac{c+a}{|c+a|}\) 之值為下列哪一個選項？
Ans: -2
中科實中考古題
設三實數 \(a, b, c\) 滿足條件： \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\)，試求 \(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{a+b}{|a+b|}+\frac{a+c}{|a+c|}+\frac{b+c}{|b+c|}+\frac{a+b+c}{|a+b+c|}\)
相似題，相異解
第一題：∆ABC中，過A, B, C的三中線長依序為5, 6, 7，求∆ABC的面積為？8√6（對話式數2，p.236, exa.10.2）
解：令AM=5, BP=6, CN=7。以GB及GC為兩邊做平行四邊形GBDC，則GD=2GM=2*1/3*AM=10/3，BG=2/3*BP=4，BD=GC=2/3*CN=14/3，對∆BGD用海龍公式，得∆BGD面積為8√6/3。記得三角形三中線把三角形面積六等分，∆BGD面積佔了其中的兩份，所以∆ABC=3*∆BGD=8√6。
第二題：∆ABC的重心為G，已知GA=4, GB=5, GC=3，求邊長BC？2√13（對話式數2，p.238, exa.11.2）
解：由三角形中線的性質，AG:GM=2:1，所以GM=2，對∆BGC用中線定理，GB²+GC²=2(GM²+BM²)
由三中線求面積，由三高求面積（有沒有由三分角線求面積？）
第一題：∆ABC中，過A, B, C的三中線長依序為5, 6, 7，求∆ABC的面積為？8√6（對話式數2，p.236, exa.10.2）
第二題：設∆ABC過A的高為h_a=6，過B的高為h_b=3，過C的高為h_c=4，求∆ABC的面積為？16√15/5（對話式數2，p.237, exe.38）
由h_a:h_b:h_c得到a:b:c，再用一組底×高÷2=海龍公式。
設 \(\theta\) 為一銳角，且 \(\frac{1-\sin{\theta}}{1+\sin{\theta}}=2-\sqrt{3}\)，試求 \(\tan{\theta}+\cos{\theta}\) Ans: (3√2+2√3)/6 解法：設 \(x=\sin{\theta}\)，解 \(\frac{1-x}{1+x}=2-\sqrt{3}\)，得 \(x=\sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，接著畫銳角三角形。
∠C=90°, AC:BC=3:5, BD:CD=2:3, ∠BAD=θ, tan θ=?
由題設，BD=2r, CD=3r, AC=3r, AD=3√2r, AB=√34r
做AB邊上的高DE，由ABD=½*BD*AC=½*AB*DE，得到DE=(6/√34)r
接著如果再求AE才求tan θ=DE/AE，會很複雜。
所以我們要用別的方法，就是直接用sin θ求出tan θ，也就是sin θ=DE/AD及 \[ \tan^2{\theta}=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}=\frac{\sin^2{\theta}}{1-\sin^2{\theta}} \]
一題好題目：已知兩點A(2cosα, 2sinα), B(cosβ, sinβ)且α-β=60°，則線段AB的長度為Ans:√3
Area of Quadrilateral Formula，四邊形的面積公式（知道兩對角線長度及夾角）
四邊形ABCD，做AC的平行線BE及DF，連接EF會與BD平行。於是 \[ ABCD=ABD+DBC=CEF+DBC=\frac{1}{2}\times BEFD=\frac{1}{2}\times 2\times BFD=\frac{1}{2}\times 2\times \frac{1}{2}\times BD\times DF\times \sin{\theta} \]
求過圓上一點的切線方程式用斜率
求過圓外一點的切線方程式用點線距
第一題：過圓(x-3)²+(y+2)²=29上的點(1,3)所作的切線方程式為Ans: -2x+5y=13（對話式數1, p.137, exa.3.1）
求圓心(3,-2)與點(1,3)的連線斜率，此半徑與切線垂直，由此得切線斜率，用點斜式得切線。
第二題：過圓C:(x-1)²+(y+2)²=25外一點P(8,-1)作圓C的兩條切線，求切線方程式為Ans: 3x+4y=20, 4x-3y=35（對話式數1, p.139, exa.5.1）
假設切線斜率為m，可假設切線方程為y-(-1)=m(x-8)，圓心到此切線的距離為半徑，用點線距公式求出m。
根軸公式的證明（ＯＯ高中陳Ｏ祥老師）
已知兩圓 \(C_1:f(x,y)=0\) 及 \(C_2:g(x,y)=0\) 相交於相異兩點 \(P(a,b)\) 及 \(Q(c,d)\)，則直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 的方程式為 \(f(x,y)-g(x,y)=0\)。
證明：因為點 \(P\) 在圓 \(C_1\) 上，所以將點 \(P\) 的座標代入 \(f(x,y)\) 可以得到 \(f(a,b)=0\)。又因為點 \(P\) 也在圓 \(C_2\) 上，所以 \(g(a,b)=0\)。於是有 \(f(a,b)-g(a,b)=0-0=0\)，這表示點 \(P\) 在直線 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 上。
類似地，我們也可以得到點 \(Q\) 在直線 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 上。而兩點決定一條直線，所以 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 就是通過點 \(P\) 及點 \(Q\) 的直線方程式。
因數與倍數
用配對法求所有因數 用短除法求質因數分解 由質因數分解求所有因數 用短除法求最大公因數與最小公倍數， 用質因數分解求最大公因數與最小公倍數，
混合濃度問題（三杯雞）
濃度8%的食鹽水和濃度5%的食鹽水，各取多少克，可以混合成濃度6%的食鹽水300克。
用三個杯子來記，上面兩個杯子倒入下面的杯子
| ㄩ | ㄩ | |
| ㄩ |
比賽輸贏問題（井字法）
甲乙競賽，贏得2分，輸得1分，沒有平手，今甲得12分，乙得18分，試問比賽結果。
| 甲 | 乙 | |
| 贏 | x | y |
| 輸 | y | x |
巴斯卡定理（個人的記憶法）
\(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\)，上標為列，下標為行，注意到按照此編號排序，加的規則變成：上加下等於右下，一個L型。
| 10 | 11 | 12 | 13 | |
| 5 | \(\binom{10}{5}\) | |||
| 6 | \(\binom{10}{6}\) | |||
| 7 | \(\binom{11}{7}\) | |||
| 8 | \(\binom{12}{8}\) |
平行四邊形
| 平行四邊形 | ||
| 菱形（邊一樣） | ∩ | 長方形（角一樣） |
| 正方形 |
| parallelogram [͵pærəˋlɛlə͵græm] | ||
| rhombus [ˋrɑmbəs] | ∩ | rectangle |
| square |
| 四邊形\對角線 | 平分 | 垂直 | 等長 |
| 正方形 | V | V | V |
| 長方形 | V | V | |
| 平行四邊形 | V | ||
| 菱形 | V | V | |
| 箏形 | V |
\(9^{20}\)為幾位數？乘開後的最高位數為何？
\(\log{9^{20}}=20\log{9}=20\log{3^2}=40\log{3}=40\cdot 0.4771=19.084\)。
由log的定義，\(9^{20}=10^{19.084}=10^{19}\cdot 10^{0.084}\)，看一下0.084介在下表的哪兩個數中間。
\[ \begin{array}{rcl} \log{1} &=& 0 \\ \log{2} &=& 0.301 \\ \log{3} &=& 0.4771 \\ \log{5} &=& \log{\frac{10}{2}}=0.699 \\ \log{6} &=& \log{2}+\log{3}=0.778 \\ \log{7} &=& 0.8451 \\ \log{8} &=& \log{2^3}=0.903 \\ \log{9} &=& \log{3^2}=0.9542 \\ \end{array} \] 知道 \[ 0<0.084<0.301 \] 所以 \[ 1=10^0<10^{0.084}<10^{0.301}=2 \]所以 \(9^{20}\) 為一個20位數的數字，且 \(9^{20}\) 的最高位數為 \(1\)。
學測106, 7
小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
(1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84
先想想，不可能有以下情形。
- 零天飯
- 一天飯
- 四天飯
- 五天飯
接著再分「兩天飯」及「三天飯」兩種情形討論。
兩天飯：在此情形之下，因為麵不得相鄰，所以必為「麵飯麵飯麵」。於是飯有兩種選擇。因為總共有三天麵，而麵總共只有兩種，所以一定會有兩天吃到重複的麵，第三天吃不同的麵，所以我們先決定會重複的麵種，共有兩種。最後是這三個麵在排列（其中兩個重複）。所以總共有 \(2\times 2\times 3=12\) 種組合方法。
三天飯：在此情形之下，先排飯，再把麵插空隙。先排飯又有分兩種，一種是相同的飯不會相鄰，另一種是相同的飯有可能相鄰。
- __咖__排__咖__，這種情形下兩個麵可以亂插，所以是 \(C^4_2\times 2=12\) 種。
- __排__咖__排__，同上，共12種。
- __排__排__咖__，這種情形下，一定要有一個麵插到兩個「排」的中間，也就是「__排麵排__咖__」，剩下一個麵再插到剩下空隙中，共有 \(2\times 3\) 種。
- __咖__咖__排__，同上，共 \(6\) 種。
- __咖__排__排__，同上，共 \(6\) 種。
- __排__咖__咖__，同上，共 \(6\) 種。
6件不同物品分給甲、乙、丙、丁四人，每人至少得1件，則有幾種分法。 全部-1人沒得+2人沒得-3人沒得 =4^6-C4,1*3^6+C4,2*2^6-C4,3*1^6 考慮3件不同物品分給A, B, C三人，每人至少得1件，則有幾種分法。 全部-1人沒得+2人沒得 =3^3-3*2^3+3*1^3 文華高一111下第二次 甲、乙、丙、丁、戊五人從左至右排成一列，甲不坐第一位且乙不坐第二位且丙不坐第三位且丁不坐第四位且戊不坐第五位的排法有5!-C5,1*4!+C5,2*3!-C5,3*2!+C5,4*1!-C5,5*0!=44種 這是推廣的排容原理\(C^5_1n(\text{甲第一})-C^5_2n(\text{甲第一}\cap \text{乙第二})+C^5_3n(\text{甲第一}\cap \text{乙第二}\cap \text{丙第三})+\cdots\)
下面這兩題是相同的解法。
從1到20的自然數中取出三個不同的數，則三數成等差的取法有多少種？
從1到20的自然數中取出兩個不同的數，則兩數和為偶數的取法有多少種？
聽說此解法取自徐氏數學，未驗證。
我的做法是按照公差 \(d=9, d=8, ..., d=1\) 來討論，並找出規律。
實力相當的甲、乙兩人比賽羽球單打，約定先勝3局者可得獎金4800元。現在已知第一局甲獲勝，則下列選項哪些是正確的？（多選）
(1) 甲再連勝兩局的機率為 \(\frac{1}{4}\) Ans: 正確
(2) 乙先勝3局的機率為 \(\frac{1}{8}\) Ans: 錯誤
(3) 甲獲勝的期望值為3600元 Ans: 錯誤
(4) 乙獲勝的期望值為1500元 Ans: 正確
(5) 若甲勝一局之後，比賽因故中止並且不再比賽，則甲應該分得3300元才算公平 Ans: 正確
實力相當，所以贏的機率各是1/2，畫樹枝圖。
轉移矩陣
| 後＼前 | 狀態A | 狀態B |
| 狀態A | P(A→A) | P(B→A) |
| 狀態B | P(A→B) | P(B→B) |
一列火車從第一車到第十車共有十節車廂，若要求此三節車廂兩兩不相銜接，則共有多少種方法？
先將不相鄰的三節車廂挑出，剩下七節車廂，有八個空隙，再把這三節車廂插空隙。
一開始看起來不能用插空隙，可是其實可以，例如下圖
| V | V | V | V | V | V | V | V | |||||||
| O | O | O | O | O | O | O |
| V | V | V | ||||||||||||
| O | O | O | O | O | O | O |
| 1 | 5 | 8 | ||||||||||||
| V | V | V | ||||||||||||
| O | O | O | O | O | O | O | ||||||||
| 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 10 |
有18本不同的書，按下述條件求其分法：
| 三堆不同數量（5, 6, 7） | 兩堆相同數量（5, 5, 8） | |
| 分三堆 | \(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\) | \(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\cdot \frac{1}{2!}\) |
| 不確定三人 | \(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\cdot 3!\) | \(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\cdot \frac{3!}{2!}\) |
| 確定三人 | \(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\) | \(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\) |
單淘汰賽
| ㄇ | ||||||
| ㄇ | ㄇ | |||||
| ㄇ | ㄇ | ㄇ | ㄇ |
| ㄇ | ||||||
| ㄇ | Γ | |||||
| ㄇ | ㄇ | | | ㄇ |
| ㄇ | ||||||
| Γ | Γ | |||||
| | | ㄇ | | | ㄇ |
有4相同紅球、2相同藍球及2相同綠球全分給5人，若每人可拿一顆球或兩顆不同顏色的球（但不可不拿），則共有幾種不同的分配方式。（台中一中105段考）
注意到，必有四人各拿一顆紅球，也就是必有一人沒拿紅球，沒拿紅球的這個人有五種選擇。 接著，沒拿紅球的這個人，他所拿到的球，有三種情形。 1. 只拿一顆藍球，把五個人拿的球用符號表示，例如 RRRRB BGG 表示第一個人拿RB，第二個人拿RG，第三個人拿RG，第四個人只拿R，第五個人只拿B 或是 RRRRB G BG 表示第一個人拿RG，第二個人只拿R，第三個人拿RB，第四個人拿RG，第五個人只拿B 所以有BGG三個字母在四個位置排列，有P4取3除以2=12，再乘以一開始的五，所以是60。 2. 只拿一顆綠球 跟情形一類似。 3. 拿一顆藍球一顆綠球，把五個人拿的球用符號表示，例如 RRRRB G B G 表示第一個人拿RG，第二個人只拿R，第三個人拿RB，第四個人只拿R，第五個人拿BG 所以變成BG兩個字母在四個位置排列，有P4取2種，再乘以一開始的五，所以是60。 總共180
甲袋內有3顆黑球，乙袋內有1顆紅球。從甲袋抽取兩顆球放進乙袋後，再從乙袋抽取兩顆球放進甲袋，稱為1次操作。 (1)1次操作後，紅球在乙袋的機率為。 (2)2次操作後，紅球在乙袋的機率為。甲袋的色球數只會有下列兩種情形：甲3黑、甲2黑1紅。 \[ \begin{array}{ll} & P(\text{甲從0紅變成0紅}) \\ =& P(\text{0R}\to\text{0R}) \\ =& P(\text{甲原本是3黑，2黑去乙，2黑回甲}) \\ =& \frac{1}{3} \end{array} \] \[ \begin{array}{ll} & P(\text{甲從0紅變成1紅}) \\ =& P(\text{0R}\to\text{1R}) \\ =& P(\text{甲原本是3黑，2黑去乙，1黑1紅回甲}) \\ =& \frac{2}{3} \end{array} \] \[ \begin{array}{ll} & P(\text{甲從1紅變成0紅}) \\ =& P(\text{1R}\to\text{0R}) \\ =& P(\text{甲原本是2黑1紅，1黑1紅去乙，2B回甲}) \\ =& \frac{2}{9} \end{array} \] \[ \begin{array}{ll} & P(\text{甲從1紅變成1紅}) \\ =& P(\text{1R}\to\text{1R}) \\ =& P(\text{甲原本是2黑1紅，2黑去乙，2黑回甲}) \\ +& P(\text{甲原本是2黑1紅，1黑1紅去乙，1黑1紅回甲}) \\ =& \frac{7}{9} \end{array} \] 令甲袋內紅球數機率行矩陣為 \(\begin{bmatrix}P(\text{0R})\\P(\text{1R})\end{bmatrix}\)，初狀態為 \(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)，每次操作的轉移方陣為 \[ \begin{bmatrix} P(\text{0R}\to \text{0R})& P(\text{1R}\to \text{0R}) \\ P(\text{0R}\to \text{1R})& P(\text{1R}\to \text{1R}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3}& \frac{2}{9} \\ \frac{2}{3}& \frac{7}{9} \end{bmatrix} \] 1次操作後紅球在甲袋的機率為 \(\frac{2}{3}\)，下面乘法向量的第二個分量。 \[ \begin{bmatrix} \frac{1}{3}& \frac{2}{9} \\ \frac{2}{3}& \frac{7}{9} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3}\\\frac{2}{3} \end{bmatrix} \] 紅球在乙袋的機率為 \(1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)。
2次操作後紅球在甲袋的機率為 \(\frac{20}{27}\)，下面乘法向量的第二個分量。 \[ \begin{bmatrix} \frac{1}{3}& \frac{2}{9} \\ \frac{2}{3}& \frac{7}{9} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{3}\\\frac{2}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{7}{27}\\\frac{20}{27} \end{bmatrix} \] 紅球在乙袋的機率為 \(1-\frac{20}{27}=\frac{7}{27}\)。 第一次操作時的情況。
| 第一種情況 | ||||||||
| 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | |||
| ● | ● | 甲2黑到乙→ | ● | ● | 乙2黑回甲→ | ● | ● | |
| ● | ● | ● | ||||||
| ● | ● | ● | ||||||
| 第二種情況 | ||||||||
| 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | |||
| ● | ● | 甲2黑到乙→ | ● | ● | 乙1黑1紅回甲→ | ● | ● | |
| ● | ● | ● | ||||||
| ● | ● | ● |
| 第一種情況 | ||||||||
| 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | |||
| ● | ● | 甲2黑到乙→ | ● | ● | 乙2黑回甲→ | ● | ● | |
| ● | ● | ● | ||||||
| ● | ● | ● | ||||||
| 第二種情況 | ||||||||
| 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | |||
| ● | ● | 甲2黑到乙→ | ● | ● | 乙1黑1紅回甲→ | ● | ● | |
| ● | ● | ● | ||||||
| ● | ● | ● | ||||||
| 第三種情況 | ||||||||
| 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | |||
| ● | ● | 甲2黑到乙→ | ● | ● | 乙2黑回甲→ | ● | ● | |
| ● | ● | ● | ||||||
| ● | ● | ● | ||||||
| 第四種情況 | ||||||||
| 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | |||
| ● | ● | 甲1黑1紅到乙→ | ● | ● | 乙2黑回甲→ | ● | ● | |
| ● | ● | ● | ||||||
| ● | ● | ● | ||||||
| 第五種情況 | ||||||||
| 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | 甲 | 乙 | |||
| ● | ● | 甲1黑1紅到乙→ | ● | ● | 乙1黑1紅回甲→ | ● | ● | |
| ● | ● | ● | ||||||
| ● | ● | ● |
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