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數學雜題
兩點式\(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}, y-y_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)\)
點斜式\(y-y_1=m(x-x_1)\)
斜截式\(y=mx+b\)（用點斜式推）
截距式\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)（用兩點式推）
一般式\(ax+by+c=0\)

數學雜題

✍️🙋‍♂️🙋‍♀️🧑‍🏫👨‍🏫👩‍🏫📖📅
²³πθ°√αβ±≤≥÷≠∈∠⋅
$$ \begin{array}{lll} \displaystyle x&=& \displaystyle \frac{\begin{bmatrix}-3c_1&2a_1-b_1\\-3c_2&2a_2-b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&2a_1-b_1\\a_2&2a_2-b_2\end{bmatrix}} \\ &=& \displaystyle \frac{\begin{bmatrix}-3c_1&2a_1-b_1\\-3c_2&2a_2-b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&-b_1\\a_2&-b_2\end{bmatrix}} \\ &=& \displaystyle \frac{(-3)\cdot 2\cdot \begin{bmatrix}c_1&a_1\\c_2&a_2\end{bmatrix}+(-3)\cdot (-1)\cdot \begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{(-1)\cdot \begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \\ &=& \displaystyle -6\cdot \frac{\begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}-3\cdot \frac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}\\ &=& \displaystyle -6\cdot 2-3\cdot 1\\ &=& \displaystyle -15. \end{array} $$

圓內角，圓周角，圓外角，注意到圓周角是圓內角或是圓外角的特例

有兩等差數列，其前n項和之比為(3n+1):(7n-11)，則此二數列第6項的比為？ Ans: 17:33 \[ \begin{array}{ccccc} a_1+a_{11} &=& 2a_1+10d &=& 2a_6, \\ a_2+a_{10} &=& 2a_1+10d &=& 2a_6, \end{array} \] 6.6+66.66+666.666+...+至第n項 \[ \begin{array}{ll} & 6.6+66.66+666.666+\cdots+\underbrace{6\cdots 6}_{n\text{ times}}.\underbrace{6\cdots 6}_{n\text{ times}} \\ =& 6(1.1+11.11+111.111+\cdots+\underbrace{1\cdots 1}_{n\text{ times}}.\underbrace{1\cdots 1}_{n\text{ times}}) \\ =& \frac{6}{9}(9.9+99.99+999.999+\cdots+\underbrace{9\cdots 9}_{n\text{ times}}.\underbrace{9\cdots 9}_{n\text{ times}}) \\ =& \frac{6}{9}\left[\left(10-0.1\right)+\left(100-0.01\right)+\cdots +\left(1\underbrace{0\cdots 0}_{n\text{ times}}-0.\underbrace{0\cdots 0}_{n-1\text{ times}}1\right)\right] \\ =& \frac{6}{9}\left[\left(10-\frac{1}{10}\right)+\left(100-\frac{1}{100}\right)+\cdots +\left(1\underbrace{0\cdots 0}_{n\text{ times}}-\frac{1}{1\underbrace{0\cdots 0}_{n\text{ times}}}\right)\right] \\ =& \frac{6}{9}\left[\left(10-\frac{1}{10}\right)+\left(10^2-\frac{1}{10^2}\right)+\cdots +\left(10^n-\frac{1}{10^n}\right)\right] \\ \end{array} \]
The end behavior of a polynomial \[ \begin{array}{lcr} \displaystyle\lim_{x\to \infty}{(\text{positive leading coefficient})\cdot x^{\text{odd}}}&=& \infty \\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(\text{positive leading coefficient})\cdot x^{\text{odd}}}&=& -\infty \\ \displaystyle\lim_{x\to \infty}{(\text{negative leading coefficient})\cdot x^{\text{odd}}}&=& -\infty \\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(\text{negative leading coefficient})\cdot x^{\text{odd}}}&=& \infty \\ \\ \displaystyle\lim_{x\to \infty}{(\text{positive leading coefficient})\cdot x^{\text{even}}}&=& \infty \\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(\text{positive leading coefficient})\cdot x^{\text{even}}}&=& \infty \\ \displaystyle\lim_{x\to \infty}{(\text{negative leading coefficient})\cdot x^{\text{even}}}&=& -\infty \\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(\text{negative leading coefficient})\cdot x^{\text{even}}}&=& -\infty \\ \end{array} \]

設a、b為整數，且 \(\frac{5}{a}-\frac{4}{b}=3\)，則數對(a, b)共有幾組解？Ans: 5 \[ \begin{array}{lll} \frac{5}{a}-\frac{4}{b}=3 & \Rightarrow & 5b-4a=3ab \\ & \Rightarrow & 3ab+4a-5b=0 \\ & \Rightarrow & (3a-5)(b+\frac{4}{3})=\frac{-20}{3} \\ & \Rightarrow & (3a-5)(3b+4)=-20 \end{array} \] 窮舉討論。



直角三角形整數邊長
3:4:5
6:8:10
5:12:13
15:20:25
7:24:25
8:15:17
20:21:29
高中數學第一冊第一章：絕（絕對值）、乘（乘法公式）、根（根式）、算（算幾不等式）、指對（指數與對數） 
華盛頓高中數學自編教材目錄

高一上v1

第一章 數與式
1-1 數與數線
1-2 式的運算
第二章 指數與對數
2-1 指數
2-2 常用對數
第三章 多項式函數
3-1 多項式的運算與應用
3-2 簡單多項式函數及其圖形
3-3 多項式函數的圖形與多項式不等式
第四章 直線與圓
4-1 直線方程式及其圖形
4-2 直線方程式的應用
4-3 圓與直線的關係
  
高一下v2

第一章 數列與級數
1-1 數列與級數
1-2 數學歸納法與遞迴關係式
第二章 排列與組合
2-1 邏輯、集合與計數原理
2-2 排列
2-3 組合
2-4 機率
第三章 數據分析
3-1 一維數據分析
3-2 二維數據分析
第四章 三角比
4-1 直角三角形的三角比
4-2 廣義角的三角比
4-3 三角比性質

高二上v3

第一章
第二章 指數與對數函數
2-1 指數函數及其圖形
2-2 對數與對數律
2-3 對數函數及其圖形
2-4 指數與對數函數的應用

第三章 平面向量
3-1 平面向量的表示法
3-2 平面向量的內積
3-3 面積與二階行列式

高下v4
第一章 向量空間
1-1 空間概念
1-2 空間向量的坐標表示法
1-3 空間向量的內積
1-4 外積、體積與行列式

華盛頓高中分班
精英班
普通班（英語資優班）
寰宇班（雙語實驗班）
國語資優班
數理資優班

指數與對數

底同指不同
\(a^m a^n=a^{m+n}\)
\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
指同底不同
\((ab)^n=a^n b^n\)\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\)\((ab)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}b^{\frac{1}{n}}\)
\(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)\(\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}\)
指數相乘
\((a^m)^n=a^{mn}\)
ExponentialtranslationLogarithmic
\(x=a^m\)→\(\log_a{x}=m\)
\(y=a^n\)→\(\log_a{y}=n\)
\(xy=a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)→\(\log_a{xy}=m+n\)\(=\log_a{x}+\log_a{y}\)

三角函數

沒什麼規律，不好記

180°-θ90°-θ-θ90°+θ180°+θ
sin+cos-cos-
cos-sin+-sin-
tan--+

沒什麼規律，不好記

270°-θ180°-θ90°-θ-θ90°+θ180°+θ270°+θ
sin-cos+cos-cos--cos
cos-sin-sin+-sin-sin
tan--+
Sums of Sines and Cosines

If \(A\) and \(B\) are real numbers, then \[ A\sin{x}+B\cos{x}=k\sin{(x+\phi)} \] where \(k=\sqrt{A^2+B^2}\) and \(\phi\) satisfies \[ \cos{\phi}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \text{ and } \sin{\phi}=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \]
令 \(f(x)=A\sin{x}+B\cos{x}=k\sin{(x+\phi)}\)，
當 \(\sin{x}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 及 \(\cos{x}=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 時，\(f(x)\) 有最大值 \(\sqrt{A^2+B^2}\)。
當 \(\sin{x}=\frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 及 \(\cos{x}=\frac{-B}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 時，\(f(x)\) 有最小值 \(-\sqrt{A^2+B^2}\)。

證明：當 \(x+\phi=90^{\circ}\) 時，\(\sin{(x+\phi)}=1\) 且 \(f(x)\) 有最大值 \(\sqrt{A^2+B^2}\)。
而當 \(x+\phi=90^{\circ}\) 時，\(x=90^{\circ}-\phi\) 且 \(\sin{x}=\sin{(90^{\circ}-\phi)}=\cos{\phi}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。

統計

\[ \begin{array}{lcccccccl} \text{sine} & \sin{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \cos{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} & \text{cosine} \\ \text{tangent} & \tan{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \cot{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} & \text{cotangent}\\ \text{secant} & \sec{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \csc{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} & \text{cosecant} \end{array} \] \[ \begin{array}{lcccccccl} & \sin{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \csc{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} \\ & \tan{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \cot{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} \\ & \sec{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \cos{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \end{array} \]
相關係數 \(r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}\) 絕對值小於1的證明（介於-1到1之間）

由柯西不等式 \[ (a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2) \]

將 \(a_i, b_i\) 分別換成 \((x_i-\mu_x), (y_i-\mu_y)\)。

迴歸直線證明 Suppose the regression line is \(y={m}x+{c}\). We have to find \({m}\) and \({c}\) to minimize the following. \[ \begin{array}{lll} \sum_{i=1}^{n}[y_i-({m}x_i+{c})]^2 &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2y_i({m}x_i+{c})+({m}x_i+{c})^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}x_i y_i-2{c}y_i+{m}^2 x_i^2+2{m}{c}x_i+{c}^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-2{c}\sum_{i=1}^{n}y_i+{m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2{m}{c}\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}{c}^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-2n{c}\mu_y+{m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2n{m}{c}\mu_x+n{c}^2 \\ &\stackrel{\text{squre}}{=}& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}^2+2({m}\mu_x-\mu_y){c}] \\ &=& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}^2+2({m}\mu_x-\mu_y){c}+({m}\mu_x-\mu_y)^2]-n({m}\mu_x-\mu_y)^2 \\ &=& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)^2]-n{m}^2\mu_x^2+2n{m}\mu_x\mu_y-n\mu_y^2 \\ &\stackrel{\text{group x, y}}{=}& {m}^2(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\mu_x^2)-2{m}(\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-n\mu_x \mu_y)+(\sum_{i=1}^{n}y_i^2-n\mu_y^2)+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& {m}^2 S_{xx}-2{m}S_{xy}+S_{yy}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}^2-2{m}\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)+S_{yy}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}^2-2{m}\frac{S_{xy}}{S_{xx}}+\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}^2}\right)+S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+\frac{S_{xx}S_{yy}-S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2. \end{array} \] minimum occurs at \({m}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\) and \({c}=\mu_y-{m}\mu_x=\mu_y-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\mu_x\). Therefore, the regression line is \(y=mx+c=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}x+\mu_y-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\mu_x\). That is, \[ y-\mu_y=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\mu_x). \]
算幾不等式的證明
\(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)
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x的長度可以從圖中的三個直角三角形利用畢氏定理得到，也就是 \((x^2+a^2)+(x^2+b^2)=(a+b)^2\)。
設正實數a的純小數部分為b，已知a+b²=n，n為整數，求b
因為0<b<1，所以0<b²<1且n-1<a=n-b²<n，由此知a的整數部分為n-1。將a=(n-1)+b代入a+b²=n，得b²+b-1=0，解得b=(-1+√5)/2
91學測
若實數 \(a, b, c\) 滿足 \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\)，則下列選項何者為真？ (1) \(a>0\) (2) \(b>0\) (3) \(c>0\) (4) \(|a|>|b|\) (5) \(a^2>c^2\)
Ans: (1)(4)(5)
翰林校用卷A卷第一冊1-1
設三實數 \(a, b, c\) 滿足條件： \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\)，試求 \(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}-\frac{a+b}{|a+b|}-\frac{b+c}{|b+c|}-\frac{c+a}{|c+a|}\) 之值為下列哪一個選項？
Ans: -2
中科實中考古題
設三實數 \(a, b, c\) 滿足條件： \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\)，試求 \(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{a+b}{|a+b|}+\frac{a+c}{|a+c|}+\frac{b+c}{|b+c|}+\frac{a+b+c}{|a+b+c|}\)
相似題，相異解
第一題：∆ABC中，過A, B, C的三中線長依序為5, 6, 7，求∆ABC的面積為？8√6（對話式數2，p.236, exa.10.2）

解：令AM=5, BP=6, CN=7。以GB及GC為兩邊做平行四邊形GBDC，則GD=2GM=2*1/3*AM=10/3，BG=2/3*BP=4，BD=GC=2/3*CN=14/3，對∆BGD用海龍公式，得∆BGD面積為8√6/3。記得三角形三中線把三角形面積六等分，∆BGD面積佔了其中的兩份，所以∆ABC=3*∆BGD=8√6。
第二題：∆ABC的重心為G，已知GA=4, GB=5, GC=3，求邊長BC？2√13（對話式數2，p.238, exa.11.2）

解：由三角形中線的性質，AG:GM=2:1，所以GM=2，對∆BGC用中線定理，GB²+GC²=2(GM²+BM²)
由三中線求面積，由三高求面積（有沒有由三分角線求面積？）
第一題：∆ABC中，過A, B, C的三中線長依序為5, 6, 7，求∆ABC的面積為？8√6（對話式數2，p.236, exa.10.2）
第二題：設∆ABC過A的高為h_a=6，過B的高為h_b=3，過C的高為h_c=4，求∆ABC的面積為？16√15/5（對話式數2，p.237, exe.38）
由h_a:h_b:h_c得到a:b:c，再用一組底×高÷2=海龍公式。
∠C=90°, AC:BC=3:5, BD:CD=2:3, ∠BAD=θ, tan θ=?
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由題設，BD=2r, CD=3r, AC=3r, AD=3√2r, AB=√34r
做AB邊上的高DE，由ABD=½*BD*AC=½*AB*DE，得到DE=(6/√34)r
接著如果再求AE才求tan θ=DE/AE，會很複雜。
所以我們要用別的方法，就是直接用sin θ求出tan θ，也就是sin θ=DE/AD及 \[ \tan^2{\theta}=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}=\frac{\sin^2{\theta}}{1-\sin^2{\theta}} \]
一題好題目：已知兩點A(2cosα, 2sinα), B(cosβ, sinβ)且α-β=60°，則線段AB的長度為Ans:√3
Area of Quadrilateral Formula，四邊形的面積公式（知道兩對角線長度及夾角）

四邊形ABCD，做AC的平行線BE及DF，連接EF會與BD平行。於是 \[ ABCD=ABD+DBC=CEF+DBC=\frac{1}{2}\times BEFD=\frac{1}{2}\times 2\times BFD=\frac{1}{2}\times 2\times \frac{1}{2}\times BD\times DF\times \sin{\theta} \]
求過圓上一點的切線方程式用斜率
求過圓外一點的切線方程式用點線距

第一題：過圓(x-3)²+(y+2)²=29上的點(1,3)所作的切線方程式為Ans: -2x+5y=13（對話式數1, p.137, exa.3.1）
求圓心(3,-2)與點(1,3)的連線斜率，此半徑與切線垂直，由此得切線斜率，用點斜式得切線。
第二題：過圓C:(x-1)²+(y+2)²=25外一點P(8,-1)作圓C的兩條切線，求切線方程式為Ans: 3x+4y=20, 4x-3y=35（對話式數1, p.139, exa.5.1）
假設切線斜率為m，可假設切線方程為y-(-1)=m(x-8)，圓心到此切線的距離為半徑，用點線距公式求出m。
根軸公式的證明（ＯＯ高中陳Ｏ祥老師）

已知兩圓 \(C_1:f(x,y)=0\) 及 \(C_2:g(x,y)=0\) 相交於相異兩點 \(P(a,b)\) 及 \(Q(c,d)\)，則直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 的方程式為 \(f(x,y)-g(x,y)=0\)。

證明：因為點 \(P\) 在圓 \(C_1\) 上，所以將點 \(P\) 的座標代入 \(f(x,y)\) 可以得到 \(f(a,b)=0\)。又因為點 \(P\) 也在圓 \(C_2\) 上，所以 \(g(a,b)=0\)。於是有 \(f(a,b)-g(a,b)=0-0=0\)，這表示點 \(P\) 在直線 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 上。

類似地，我們也可以得到點 \(Q\) 在直線 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 上。而兩點決定一條直線，所以 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 就是通過點 \(P\) 及點 \(Q\) 的直線方程式。

因數與倍數 
  
用配對法求所有因數
用短除法求質因數分解
由質因數分解求所有因數

用短除法求最大公因數與最小公倍數，
用質因數分解求最大公因數與最小公倍數，
混合濃度問題（三杯雞）

濃度8%的食鹽水和濃度5%的食鹽水，各取多少克，可以混合成濃度6%的食鹽水300克。

用三個杯子來記，上面兩個杯子倒入下面的杯子

ㄩㄩ
ㄩ
比賽輸贏問題（井字法）

甲乙競賽，贏得2分，輸得1分，沒有平手，今甲得12分，乙得18分，試問比賽結果。

甲乙
贏xy
輸yx
巴斯卡定理（個人的記憶法）

\(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\)，上標為列，下標為行，注意到按照此編號排序，加的規則變成：上加下等於右下，一個L型。

10111213
5\(\binom{10}{5}\)
6\(\binom{10}{6}\)
7\(\binom{11}{7}\)
8\(\binom{12}{8}\)
平行四邊形
平行四邊形
菱形（邊一樣）∩長方形（角一樣）
正方形
parallelogram
[͵pærəˋlɛlə͵græm]
rhombus
[ˋrɑmbəs]		∩rectangle
square
四邊形\對角線 平分 垂直 等長
正方形 V V V
長方形 V   V
平行四邊形 V    
菱形 V V  
箏形   V
\(9^{20}\)為幾位數？乘開後的最高位數為何？

\(\log{9^{20}}=20\log{9}=20\log{3^2}=40\log{3}=40\cdot 0.4771=19.084\)。

由log的定義，\(9^{20}=10^{19.084}=10^{19}\cdot 10^{0.084}\)，看一下0.084介在下表的哪兩個數中間。

\[ \begin{array}{rcl} \log{1} &=& 0 \\ \log{2} &=& 0.301 \\ \log{3} &=& 0.4771 \\ \log{5} &=& \log{\frac{10}{2}}=0.699 \\ \log{6} &=& \log{2}+\log{3}=0.778 \\ \log{7} &=& 0.8451 \\ \log{8} &=& \log{2^3}=0.903 \\ \log{9} &=& \log{3^2}=0.9542 \\ \end{array} \] 知道 \[ 0<0.084<0.301 \] 所以 \[ 1=10^0<10^{0.084}<10^{0.301}=2 \]

所以 \(9^{20}\) 為一個20位數的數字，且 \(9^{20}\) 的最高位數為 \(1\)。

學測106, 7
小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
(1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84

先想想，不可能有以下情形。

  • 零天飯
  • 一天飯
  • 四天飯
  • 五天飯

接著再分「兩天飯」及「三天飯」兩種情形討論。

兩天飯：在此情形之下，因為麵不得相鄰，所以必為「麵飯麵飯麵」。於是飯有兩種選擇。因為總共有三天麵，而麵總共只有兩種，所以一定會有兩天吃到重複的麵，第三天吃不同的麵，所以我們先決定會重複的麵種，共有兩種。最後是這三個麵在排列（其中兩個重複）。所以總共有 \(2\times 2\times 3=12\) 種組合方法。

三天飯：在此情形之下，先排飯，再把麵插空隙。先排飯又有分兩種，一種是相同的飯不會相鄰，另一種是相同的飯有可能相鄰。

  • __咖__排__咖__，這種情形下兩個麵可以亂插，所以是 \(C^4_2\times 2=12\) 種。
  • __排__咖__排__，同上，共12種。
  • __排__排__咖__，這種情形下，一定要有一個麵插到兩個「排」的中間，也就是「__排麵排__咖__」，剩下一個麵再插到剩下空隙中，共有 \(2\times 3\) 種。
  • __咖__咖__排__，同上，共 \(6\) 種。
  • __咖__排__排__，同上，共 \(6\) 種。
  • __排__咖__咖__，同上，共 \(6\) 種。
下面這兩題是相同的解法。
從1到20的自然數中取出三個不同的數，則三數成等差的取法有多少種？
從1到20的自然數中取出兩個不同的數，則兩數和為偶數的取法有多少種？
聽說此解法取自徐氏數學，未驗證。
我的做法是按照公差 \(d=9, d=8, ..., d=1\) 來討論，並找出規律。
一列火車從第一車到第十車共有十節車廂，若要求此三節車廂兩兩不相銜接，則共有多少種方法？
先將不相鄰的三節車廂挑出，剩下七節車廂，有八個空隙，再把這三節車廂插空隙。
一開始看起來不能用插空隙，可是其實可以，例如下圖
VVVVVVVV
OOOOOOO
如果是插了下圖中的三個空隙，
VVV
OOOOOOO
那這些標記代表的車廂號碼為
158
VVV
OOOOOOO
23467910
有18本不同的書，按下述條件求其分法：
三堆不同數量（5, 6, 7）兩堆相同數量（5, 5, 8）
分三堆\(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\)\(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\cdot \frac{1}{2!}\)
不確定三人\(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\cdot 3!\)\(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\cdot \frac{3!}{2!}\)
確定三人\(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\)\(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\)
單淘汰賽
ㄇ
ㄇㄇ
ㄇㄇㄇㄇ
\(\frac{\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{2!2!2!}\)
ㄇ
ㄇΓ
ㄇㄇ|ㄇ
\(\frac{\binom{7}{2}\binom{5}{2}\binom{3}{1}\binom{2}{2}}{2}\)
ㄇ
ΓΓ
|ㄇ|ㄇ
\(\frac{\binom{6}{1}\binom{5}{2}\binom{3}{1}\binom{2}{2}}{2}\)
有4相同紅球、2相同藍球及2相同綠球全分給5人，若每人可拿一顆球或兩顆不同顏色的球（但不可不拿），則共有幾種不同的分配方式。（台中一中105段考） 
注意到，必有四人各拿一顆紅球，也就是必有一人沒拿紅球，沒拿紅球的這個人有五種選擇。

接著，沒拿紅球的這個人，他所拿到的球，有三種情形。

1. 只拿一顆藍球，把五個人拿的球用符號表示，例如

RRRRB
BGG
表示第一個人拿RB，第二個人拿RG，第三個人拿RG，第四個人只拿R，第五個人只拿B

或是

RRRRB
G BG
表示第一個人拿RG，第二個人只拿R，第三個人拿RB，第四個人拿RG，第五個人只拿B

所以有BGG三個字母在四個位置排列，有P4取3除以2=12，再乘以一開始的五，所以是60。

2. 只拿一顆綠球
跟情形一類似。

3. 拿一顆藍球一顆綠球，把五個人拿的球用符號表示，例如

RRRRB
G B G
表示第一個人拿RG，第二個人只拿R，第三個人拿RB，第四個人只拿R，第五個人拿BG

所以變成BG兩個字母在四個位置排列，有P4取2種，再乘以一開始的五，所以是60。

總共180

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