math-miscellaneous

數學雜題
兩點式\(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}, y-y_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)\)
點斜式\(y-y_1=m(x-x_1)\)
斜截式\(y=mx+b\)(用點斜式推)
截距式\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)(用兩點式推)
一般式\(ax+by+c=0\)

數列級數
等差\(a_1\)
\(a_2=a_1+d\),
\(a_3=a_1+2d\)
\(a_4=a_1+3d\)
...
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\)
等比\(a_1\)
\(a_2=a_1 r\)
\(a_3=a_1 r^2\)
\(a_4=a_1 r^3\)
...
\(a_n=a_1 r^{n-1}\)
\(S_n=\frac{a_1(1-r^{n-1})}{(1-r)}\)

數學雜題

✍️🙋‍♂️🙋‍♀️🧑‍🏫👨‍🏫👩‍🏫📖📅
²³πθ°√αβ±≤≥÷≠∈∠⋅


圓內角,圓周角,圓外角,注意到圓周角是圓內角或是圓外角的特例


\(I\) 為 \(\triangle ABC\) 的內心,\(P\) 為任一點,則 \[ \vec{PI}=\frac{a}{a+b+c}\vec{PA}+\frac{b}{a+b+c}\vec{PB}+\frac{c}{a+b+c}\vec{PC}. \] \(G\) 為 \(\triangle ABC\) 的重心,\(P\) 為任一點,則 \[ \vec{PG}=\frac{1}{3}\vec{PA}+\frac{1}{3}\vec{PB}+\frac{1}{3}\vec{PC}. \] \(O\) 為 \(\triangle ABC\) 的外心,則 \[ \vec{AO}\cdot \vec{AB}=\frac{1}{2}\overline{AB}^2. \] \(H\) 為 \(\triangle ABC\) 的垂心,則 \[ \vec{AH}\cdot \vec{AB}=\vec{AB}\cdot \vec{AC}. \]
\(\triangle ABC\) 中,\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\),\(\overline{AB}=c, \overline{BC}=a, \overline{CA}=b\),則

內心 \(I\) 坐標為 \[ I=\left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right) \]

重心 \(G\) 坐標為 \[ G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \]

設a、b為整數,且 \(\frac{5}{a}-\frac{4}{b}=3\),則數對(a, b)共有幾組解?Ans: 5 \[ \begin{array}{lll} \frac{5}{a}-\frac{4}{b}=3 & \Rightarrow & 5b-4a=3ab \\ & \Rightarrow & 3ab+4a-5b=0 \\ & \Rightarrow & (3a-5)(b+\frac{4}{3})=\frac{-20}{3} \\ & \Rightarrow & (3a-5)(3b+4)=-20 \end{array} \] 窮舉討論。



直角三角形整數邊長
3:4:5
6:8:10
5:12:13
15:20:25
7:24:25
8:15:17
20:21:29
高中數學第一冊第一章:絕(絕對值)、乘(乘法公式)、根(根式)、算(算幾不等式)、指對(指數與對數) \[ \begin{array}{lcccccccl} \text{sine} & \sin{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \cos{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} & \text{cosine} \\ \text{tangent} & \tan{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \cot{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} & \text{cotangent}\\ \text{secant} & \sec{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \csc{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} & \text{cosecant} \end{array} \] \[ \begin{array}{lcccccccl} & \sin{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \csc{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} \\ & \tan{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \cot{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} \\ & \sec{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \cos{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \end{array} \]

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華盛頓高中數學自編教材目錄

高一上v1

第一章 數與式
1-1 數與數線
1-2 式的運算
第二章 指數與對數
2-1 指數
2-2 常用對數
第三章 多項式函數
3-1 多項式的運算與應用
3-2 簡單多項式函數及其圖形
3-3 多項式函數的圖形與多項式不等式
第四章 直線與圓
4-1 直線方程式及其圖形
4-2 直線方程式的應用
4-3 圓與直線的關係
  
高一下v2

第三章 數據分析
3-1 一維數據分析
3-2 二維數據分析
第四章 三角比
4-1 直角三角形的三角比
4-2 廣義角的三角比
4-3 三角比性質

高二上v3

第一章
第二章 指數與對數函數
2-1 指數函數及其圖形
2-2 對數與對數律
2-3 對數函數及其圖形
2-4 指數與對數函數的應用

華盛頓高中分班
精英班
普通班(英語資優班)
寰宇班(雙語實驗班)
國語資優班
數理資優班


指數與對數


  • \(a^m a^n=a^{m+n}\)
  • \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
  • \((a^m)^n=a^{mn}\)
  • \((ab)^m=a^m b^m\)
  • \(\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}\)
  • \(a^{-1}=\frac{1}{a}\)
  • \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

  • \(\log_{a}xy=\log_a{x}+\log_a{y}\)
  • \(\log_{a}\frac{x}{y}=\log_a{x}-\log_a{y}\)
  • \(\log_{a}x^m=m\log_a{x}\)
  • \(\log_{a^n}x=\frac{1}{n}\log_a{x}\)
  • \(\log_{a}x=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}a}\)
  • \(a^{\log_{a}x}=x\)

相乘相除
同底\(a^m a^n=a^{m+n}\)\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
同指\((ab)^n=a^n b^n\)\(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)

底同指不同
\(a^m a^n=a^{m+n}\)
\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
指同底不同
\((ab)^n=a^n b^n\)\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\)\((ab)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}b^{\frac{1}{n}}\)
\(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)\(\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}\)
指數相乘
\((a^m)^n=a^{mn}\)

ExponentialtranslationLogarithmic
\(x=a^m\)\(\log_a{x}=m\)
\(y=a^n\)\(\log_a{y}=n\)
\(xy=a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)\(\log_a{xy}=m+n\)\(=\log_a{x}+\log_a{y}\)

三角函數


30°45°60°
sin\(\frac{\sqrt{1}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
cos\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{1}}{2}\)
tan\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)\(1\)\(\sqrt{3}\)

180°-θ180°+θ
sin+sinθ-sinθ-sinθ
cos-cosθ+cosθ-cosθ
tan-tanθ-tanθ+tanθ

180°-θ90°-θ90°+θ180°+θ
sin+cos-cos-
cos-sin+-sin-
tan--+

沒什麼規律,不好記

270°-θ180°-θ90°-θ90°+θ180°+θ270°+θ
sin-cos+cos-cos--cos
cos-sin-sin+-sin-sin
tan--+

正弦定理
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
其中 \(R\) 為外接圓半徑
三角形面積公式
\(\frac{1}{2}ab\sin{C}\)
\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
其中 \(s\) 為半周長 \(\frac{a+b+c}{2}\)
分角線長度公式
\(AD^2=AB\times AC-BD\times DC\)
餘弦定理
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)
\(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
四邊形面積公式
\(\frac{1}{2}(a+b)(c+d)\sin{\theta}\)
中線長度公式
\(AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)\)

\(\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\sin{B}\cos{A}\)
\(\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\sin{B}\cos{A}\)
\(\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\)
\(\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\)
\(\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(\tan{(A-B)}=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}\)
\(\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}\)
\(\cos{2\theta}=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}=1-2\sin^2{\theta}=2\cos^2{\theta}-1\)
\(\tan{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\)
\(\sin{\frac{\theta}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\theta}}{2}}\)
\(\cos{\frac{\theta}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\theta}}{2}}\)
\(\tan{\frac{\theta}{2}}=\frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}}\)
*\(\sin{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
*\(\cos{2\theta}=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)

Sums of Sines and Cosines

If \(A\) and \(B\) are real numbers, then \[ A\sin{x}+B\cos{x}=k\sin{(x+\phi)} \] where \(k=\sqrt{A^2+B^2}\) and \(\phi\) satisfies \[ \cos{\phi}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \text{ and } \sin{\phi}=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \]
令 \(f(x)=A\sin{x}+B\cos{x}=k\sin{(x+\phi)}\),
當 \(\sin{x}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 及 \(\cos{x}=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 時,\(f(x)\) 有最大值 \(\sqrt{A^2+B^2}\)。
當 \(\sin{x}=\frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 及 \(\cos{x}=\frac{-B}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 時,\(f(x)\) 有最小值 \(-\sqrt{A^2+B^2}\)。

證明:當 \(x+\phi=90^{\circ}\) 時,\(\sin{(x+\phi)}=1\) 且 \(f(x)\) 有最大值 \(\sqrt{A^2+B^2}\)。
而當 \(x+\phi=90^{\circ}\) 時,\(x=90^{\circ}-\phi\) 且 \(\sin{x}=\sin{(90^{\circ}-\phi)}=\cos{\phi}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。

統計


數據平移與伸縮對各統計量的影響
數據+a*k
均中眾+a*k
差距X*|k|

均中眾表示算術平均數、中位數、眾數,差距表示標準差、全距。


\(\mu_{ax+b}=a\mu_x+b\)
\(\mu_{cy+d}=c\mu_y+d\)

\(\sigma_{ax+b}=|a|\sigma_x\)
\(\sigma_{cy+d}=|c|\sigma_y\)

\(S_{ax+b, ax+b}=a^2S_{xx}\)
\(S_{cy+d, cy+d}=c^2S_{yy}\)
\(S_{ax+b,cy+d}=acS_{xy}\)

\(r_{ax+b,cy+d}=\frac{ac}{|ac|}r_{x,y}\)

相關係數與迴歸直線

相關係數 \(r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}\)(要背下來)
回歸直線 \(y-\mu_y=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\mu_x)\)(證明在下面)

算法如下
\(\mu_x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\)
\(\mu_y=\frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}\)
\(x_i-\mu_x\)\(y_i-\mu_y\)\((x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)\)\((x_i-\mu_x)^2\)\((y_i-\mu_y)^2\)
\(\vdots\)\(\vdots\)\(\vdots\)\(\vdots\)\(\vdots\)
00\(S_{xy}\)\(S_{xx}\)\(S_{yy}\)

下面證明迴歸直線的公式
\(\sigma_x\)=\(\sqrt{\frac{(x_1-\mu_x)^2+(x_2-\mu_x)^2+\cdots+(x_n-\mu_x)^2}{n}}\)=\(\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2-n\mu_x^2}{n}}\)
\(\downarrow\)\(\downarrow\)
\(\sigma_x=\sqrt{\frac{S_{xx}}{n}}, \sigma_y=\sqrt{\frac{S_{yy}}{n}}\)\(S_{xx}=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2-n\mu_x^2\)
\(\sqrt{S_{xx}}=\sqrt{n}\sigma_x, \sqrt{S_{yy}}=\sqrt{n}\sigma_y\)\(S_{yy}=y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2-n\mu_y^2\)
\(S_{xx}=n\sigma_x^2, S_{yy}=n\sigma_y^2\)\(S_{xy}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n-n\mu_x\mu_y\)
由此可得 \(r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}=\frac{S_{xy}}{n\sigma_x\sigma_y}\)。另外,\(r\) 為標準化後的數據的迴歸直線的斜率,也就是 \(\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}=r\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\),整理一下得到 \(y-\mu_y=r\frac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\mu_x)\),將上面的結果代入即得到 \(y-\mu_y=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\mu_x)\)。
相關係數 \(r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}\) 絕對值小於1的證明(介於-1到1之間)

由柯西不等式 \[ (a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2) \]

將 \(a_i, b_i\) 分別換成 \((x_i-\mu_x), (y_i-\mu_y)\)。


迴歸直線證明 Suppose the regression line is \(y={m}x+{c}\). We have to find \({m}\) and \({c}\) to minimize the following. \[ \begin{array}{lll} \sum_{i=1}^{n}[y_i-({m}x_i+{c})]^2 &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2y_i({m}x_i+{c})+({m}x_i+{c})^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}x_i y_i-2{c}y_i+{m}^2 x_i^2+2{m}{c}x_i+{c}^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-2{c}\sum_{i=1}^{n}y_i+{m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2{m}{c}\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}{c}^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-2n{c}\mu_y+{m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2n{m}{c}\mu_x+n{c}^2 \\ &\stackrel{\text{squre}}{=}& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}^2+2({m}\mu_x-\mu_y){c}] \\ &=& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}^2+2({m}\mu_x-\mu_y){c}+({m}\mu_x-\mu_y)^2]-n({m}\mu_x-\mu_y)^2 \\ &=& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)^2]-n{m}^2\mu_x^2+2n{m}\mu_x\mu_y-n\mu_y^2 \\ &\stackrel{\text{group x, y}}{=}& {m}^2(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\mu_x^2)-2{m}(\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-n\mu_x \mu_y)+(\sum_{i=1}^{n}y_i^2-n\mu_y^2)+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& {m}^2 S_{xx}-2{m}S_{xy}+S_{yy}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}^2-2{m}\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)+S_{yy}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}^2-2{m}\frac{S_{xy}}{S_{xx}}+\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}^2}\right)+S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+\frac{S_{xx}S_{yy}-S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2. \end{array} \] minimum occurs at \({m}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\) and \({c}=\mu_y-{m}\mu_x=\mu_y-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\mu_x\). Therefore, the regression line is \(y=mx+c=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}x+\mu_y-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\mu_x\). That is, \[ y-\mu_y=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\mu_x). \]
算幾不等式的證明
\(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)
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x的長度可以從圖中的三個直角三角形利用畢氏定理得到,也就是 \((x^2+a^2)+(x^2+b^2)=(a+b)^2\)。
設正實數a的純小數部分為b,已知a+b²=n,n為整數,求b
因為0<b<1,所以0<b²<1且n-1<a=n-b²<n,由此知a的整數部分為n-1。將a=(n-1)+b代入a+b²=n,得b²+b-1=0,解得b=(-1+√5)/2
91學測
若實數 \(a, b, c\) 滿足 \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\),則下列選項何者為真? (1) \(a>0\) (2) \(b>0\) (3) \(c>0\) (4) \(|a|>|b|\) (5) \(a^2>c^2\)
Ans: (1)(4)(5)
翰林校用卷A卷第一冊1-1
設三實數 \(a, b, c\) 滿足條件: \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\),試求 \(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}-\frac{a+b}{|a+b|}-\frac{b+c}{|b+c|}-\frac{c+a}{|c+a|}\) 之值為下列哪一個選項?
Ans: -2
中科實中考古題
設三實數 \(a, b, c\) 滿足條件: \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\),試求 \(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{a+b}{|a+b|}+\frac{a+c}{|a+c|}+\frac{b+c}{|b+c|}+\frac{a+b+c}{|a+b+c|}\)
相似題,相異解
第一題:∆ABC中,過A, B, C的三中線長依序為5, 6, 7,求∆ABC的面積為?8√6(對話式數2,p.236, exa.10.2)

解:令AM=5, BP=6, CN=7。以GB及GC為兩邊做平行四邊形GBDC,則GD=2GM=2*1/3*AM=10/3,BG=2/3*BP=4,BD=GC=2/3*CN=14/3,對∆BGD用海龍公式,得∆BGD面積為8√6/3。記得三角形三中線把三角形面積六等分,∆BGD面積佔了其中的兩份,所以∆ABC=3*∆BGD=8√6。
第二題:∆ABC的重心為G,已知GA=4, GB=5, GC=3,求邊長BC?2√13(對話式數2,p.238, exa.11.2)

解:由三角形中線的性質,AG:GM=2:1,所以GM=2,對∆BGC用中線定理,GB²+GC²=2(GM²+BM²)
由三中線求面積,由三高求面積(有沒有由三分角線求面積?)
第一題:∆ABC中,過A, B, C的三中線長依序為5, 6, 7,求∆ABC的面積為?8√6(對話式數2,p.236, exa.10.2)
第二題:設∆ABC過A的高為h_a=6,過B的高為h_b=3,過C的高為h_c=4,求∆ABC的面積為?16√15/5(對話式數2,p.237, exe.38)
由h_a:h_b:h_c得到a:b:c,再用一組底×高÷2=海龍公式。
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
a²+b²=(a+b)²-2ab
a²-b²=(a+b)(a-b)
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

∠C=90°, AC:BC=3:5, BD:CD=2:3, ∠BAD=θ, tan θ=?
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由題設,BD=2r, CD=3r, AC=3r, AD=3√2r, AB=√34r
做AB邊上的高DE,由ABD=½*BD*AC=½*AB*DE,得到DE=(6/√34)r
接著如果再求AE才求tan θ=DE/AE,會很複雜。
所以我們要用別的方法,就是直接用sin θ求出tan θ,也就是sin θ=DE/AD及 \[ \tan^2{\theta}=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}=\frac{\sin^2{\theta}}{1-\sin^2{\theta}} \]
一題好題目:已知兩點A(2cosα, 2sinα), B(cosβ, sinβ)且α-β=60°,則線段AB的長度為Ans:√3
Area of Quadrilateral Formula,四邊形的面積公式(知道兩對角線長度及夾角)

四邊形ABCD,做AC的平行線BE及DF,連接EF會與BD平行。於是 \[ ABCD=ABD+DBC=CEF+DBC=\frac{1}{2}\times BEFD=\frac{1}{2}\times 2\times BFD=\frac{1}{2}\times 2\times \frac{1}{2}\times BD\times DF\times \sin{\theta} \]
求過圓上一點的切線方程式用斜率
求過圓外一點的切線方程式用點線距

第一題:過圓(x-3)²+(y+2)²=29上的點(1,3)所作的切線方程式為Ans: -2x+5y=13(對話式數1, p.137, exa.3.1)
求圓心(3,-2)與點(1,3)的連線斜率,此半徑與切線垂直,由此得切線斜率,用點斜式得切線。
第二題:過圓C:(x-1)²+(y+2)²=25外一點P(8,-1)作圓C的兩條切線,求切線方程式為Ans: 3x+4y=20, 4x-3y=35(對話式數1, p.139, exa.5.1)
假設切線斜率為m,可假設切線方程為y-(-1)=m(x-8),圓心到此切線的距離為半徑,用點線距公式求出m。
根軸公式的證明(OO高中陳O祥老師)

已知兩圓 \(C_1:f(x,y)=0\) 及 \(C_2:g(x,y)=0\) 相交於相異兩點 \(P(a,b)\) 及 \(Q(c,d)\),則直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 的方程式為 \(f(x,y)-g(x,y)=0\)。

證明:因為點 \(P\) 在圓 \(C_1\) 上,所以將點 \(P\) 的座標代入 \(f(x,y)\) 可以得到 \(f(a,b)=0\)。又因為點 \(P\) 也在圓 \(C_2\) 上,所以 \(g(a,b)=0\)。於是有 \(f(a,b)-g(a,b)=0-0=0\),這表示點 \(P\) 在直線 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 上。

類似地,我們也可以得到點 \(Q\) 在直線 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 上。而兩點決定一條直線,所以 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 就是通過點 \(P\) 及點 \(Q\) 的直線方程式。


因數與倍數
  
用配對法求所有因數
用短除法求質因數分解
由質因數分解求所有因數

用短除法求最大公因數與最小公倍數,
用質因數分解求最大公因數與最小公倍數,

混合濃度問題(三杯雞)

濃度8%的食鹽水和濃度5%的食鹽水,各取多少克,可以混合成濃度6%的食鹽水300克。

用三個杯子來記,上面兩個杯子倒入下面的杯子


比賽輸贏問題(井字法)

甲乙競賽,贏得2分,輸得1分,沒有平手,今甲得12分,乙得18分,試問比賽結果。

xy
yx

巴斯卡定理(個人的記憶法)

\(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\),上標為列,下標為行,注意到按照此編號排序,加的規則變成:上加下等於右下,一個L型。

10111213
5\(\binom{10}{5}\)
6\(\binom{10}{6}\)
7\(\binom{11}{7}\)
8\(\binom{12}{8}\)

平行四邊形
平行四邊形
菱形(邊一樣)長方形(角一樣)
正方形
parallelogram
[͵pærəˋlɛlə͵græm]
rhombus
[ˋrɑmbəs]
rectangle
square
四邊形\對角線 平分 垂直 等長
正方形 V V V
長方形 V   V
平行四邊形 V    
菱形 V V  
箏形   V

全部部分
長度圓周長=2rπ弧長=2rπθ/(2π)
面積圓面積=r²π扇形面積=r²πθ/(2π)

\(9^{20}\)為幾位數?乘開後的最高位數為何?

\(\log{9^{20}}=20\log{9}=20\log{3^2}=40\log{3}=40\cdot 0.4771=19.084\)。

由log的定義,\(9^{20}=10^{19.084}=10^{19}\cdot 10^{0.084}\)。因為 \(1=10^0\lt 10^{0.084}<10^1=10\),所以 \(9^{20}\) 為一個20位數的數字。

又因為 \(1=10^0\lt 10^{0.084}\lt 10^{0.301}=2\)(由 \(\log{2}=0.301\)),所以 \(9^{20}\) 的最高位數為 \(1\)。


學測106, 7
小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇:牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐:
(甲)每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
(乙)連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則,小明這五天共有幾種不同的午餐計畫?
(1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84

先想想,不可能有以下情形。

  • 零天飯
  • 一天飯
  • 四天飯
  • 五天飯

接著再分「兩天飯」及「三天飯」兩種情形討論。

兩天飯:在此情形之下,因為麵不得相鄰,所以必為「麵飯麵飯麵」。於是飯有兩種選擇。因為總共有三天麵,而麵總共只有兩種,所以一定會有兩天吃到重複的麵,第三天吃不同的麵,所以我們先決定會重複的麵種,共有兩種。最後是這三個麵在排列(其中兩個重複)。所以總共有 \(2\times 2\times 3=12\) 種組合方法。

三天飯:在此情形之下,先排飯,再把麵插空隙。先排飯又有分兩種,一種是相同的飯不會相鄰,另一種是相同的飯有可能相鄰。

  • __咖__排__咖__,這種情形下兩個麵可以亂插,所以是 \(C^4_2\times 2=12\) 種。
  • __排__咖__排__,同上,共12種。
  • __排__排__咖__,這種情形下,一定要有一個麵插到兩個「排」的中間,也就是「__排麵排__咖__」,剩下一個麵再插到剩下空隙中,共有 \(2\times 3\) 種。
  • __咖__咖__排__,同上,共 \(6\) 種。
  • __咖__排__排__,同上,共 \(6\) 種。
  • __排__咖__咖__,同上,共 \(6\) 種。

下面這兩題是相同的解法。
從1到20的自然數中取出三個不同的數,則三數成等差的取法有多少種?
從1到20的自然數中取出兩個不同的數,則兩數和為偶數的取法有多少種?
聽說此解法取自徐氏數學,未驗證。
我的做法是按照公差 \(d=9, d=8, ..., d=1\) 來討論,並找出規律。
一列火車從第一車到第十車共有十節車廂,若要求此三節車廂兩兩不相銜接,則共有多少種方法?
先將不相鄰的三節車廂挑出,剩下七節車廂,有八個空隙,再把這三節車廂插空隙。
一開始看起來不能用插空隙,可是其實可以,例如下圖
VVVVVVVV
OOOOOOO
如果是插了下圖中的三個空隙,
VVV
OOOOOOO
那這些標記代表的車廂號碼為
158
VVV
OOOOOOO
23467910

有18本不同的書,按下述條件求其分法:
三堆不同數量(5, 6, 7)兩堆相同數量(5, 5, 8)
分三堆\(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\)\(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\cdot \frac{1}{2!}\)
不確定三人\(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\cdot 3!\)\(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\cdot \frac{3!}{2!}\)
確定三人\(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\)\(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\)

單淘汰賽
\(\frac{\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{2!2!2!}\)
Γ
|
\(\frac{\binom{7}{2}\binom{5}{2}\binom{3}{1}\binom{2}{2}}{2}\)
ΓΓ
||
\(\frac{\binom{6}{1}\binom{5}{2}\binom{3}{1}\binom{2}{2}}{2}\)
有4相同紅球、2相同藍球及2相同綠球全分給5人,若每人可拿一顆球或兩顆不同顏色的球(但不可不拿),則共有幾種不同的分配方式。(台中一中105段考)
注意到,必有四人各拿一顆紅球,也就是必有一人沒拿紅球,沒拿紅球的這個人有五種選擇。

接著,沒拿紅球的這個人,他所拿到的球,有三種情形。

1. 只拿一顆藍球,把五個人拿的球用符號表示,例如

RRRRB
BGG
表示第一個人拿RB,第二個人拿RG,第三個人拿RG,第四個人只拿R,第五個人只拿B

或是

RRRRB
G BG
表示第一個人拿RG,第二個人只拿R,第三個人拿RB,第四個人拿RG,第五個人只拿B

所以有BGG三個字母在四個位置排列,有P4取3除以2=12,再乘以一開始的五,所以是60。

2. 只拿一顆綠球
跟情形一類似。

3. 拿一顆藍球一顆綠球,把五個人拿的球用符號表示,例如

RRRRB
G B G
表示第一個人拿RG,第二個人只拿R,第三個人拿RB,第四個人只拿R,第五個人拿BG

所以變成BG兩個字母在四個位置排列,有P4取2種,再乘以一開始的五,所以是60。

總共180

Long Division \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} & & a_n x^{n-1} & + & (a_{n-1}+ba_n)x^{n-2} & + & [a_{n-2}+b(a_{n-1}+ba_n)]x^{n-3} & + & \cdots \\ \hline x-b & ) & a_nx^n & + & a_{n-1}x^{n-1} & + & a_{n-2}x^{n-2} & + & \cdots \\ & & a_nx^n & - & ba_n x^{n-1} \\ \hline &&&& (a_{n-1}+ba_n)x^{n-1} & + & a_{n-2}x^{n-2} \\ &&&& (a_{n-1}+ba_n)x^{n-1} & - & b(a_{n-1}+ba_n)x^{n-2} \\ \hline &&&&&&[a_{n-2}+b(a_{n-1}+ba_n)]x^{n-2}&+&\cdots \\ \end{array} \] Synthetic Division \[ \begin{array}{rrrrrrrr} a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & | &b \\ & ba_n & b(a_{n-1}+ba_n) & \cdots & | \\ \hline a_n & (a_{n-1}+ba_n) & [a_{n-2}+b(a_{n-1}+ba_n)] & \cdots \end{array} \]

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