數學雜題

兩點式	$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}, y-y_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)$
點斜式	$y-y_1=m(x-x_1)$
斜截式	$y=mx+b$ （用點斜式推）
截距式	$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ （用兩點式推）
一般式	$ax+by+c=0$

數學雜題

指數與對數
三角函數
統計

✍️🙋‍♂️🙋‍♀️🧑‍🏫👨‍🏫👩‍🏫📖📅
²³πθ°√αβ±≤≥÷≠∈∠⋅

Cube Cross Sections

數據更新標準差

舊數據	平移前	平移後	新數據	平移前	平移後
μ_old	①	④	μ_new	③	⑦
σ_old	②	⑤	σ_new	X	⑨
Σx²_old	X	⑥	Σx²_new	X	⑧

數據合併標準差

第一組x	平移前	平移後	第二組y	平移前	平移後	全體	平移前	平移後
μ_x	①	⑥	μ_y	③	⑨	μ_all	⑤	⑫
σ_x	②	⑦	σ_y	④	⑩	σ_all	X	⑭
Σx²	X	⑧	Σy²	X	⑪	Σx²+y²	X	⑬

$\begin{array}{lll} \displaystyle x&=& \displaystyle \frac{\begin{bmatrix}-3c_1&2a_1-b_1\\-3c_2&2a_2-b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&2a_1-b_1\\a_2&2a_2-b_2\end{bmatrix}} \\ &=& \displaystyle \frac{\begin{bmatrix}-3c_1&2a_1-b_1\\-3c_2&2a_2-b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&-b_1\\a_2&-b_2\end{bmatrix}} \\ &=& \displaystyle \frac{(-3)\cdot 2\cdot \begin{bmatrix}c_1&a_1\\c_2&a_2\end{bmatrix}+(-3)\cdot (-1)\cdot \begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{(-1)\cdot \begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}} \\ &=& \displaystyle -6\cdot \frac{\begin{bmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}-3\cdot \frac{\begin{bmatrix}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}}\\ &=& \displaystyle -6\cdot 2-3\cdot 1\\ &=& \displaystyle -15. \end{array}$

圓內角，圓周角，圓外角，注意到圓周角是圓內角或是圓外角的特例

有兩等差數列，其前n項和之比為(3n+1):(7n-11)，則此二數列第6項的比為？ Ans: 17:33

$\begin{array}{ccccc} a_1+a_{11} &=& 2a_1+10d &=& 2a_6, \\ a_2+a_{10} &=& 2a_1+10d &=& 2a_6, \end{array}$ 6.6+66.66+666.666+...+至第n項

$\begin{array}{ll} & 6.6+66.66+666.666+\cdots+\underbrace{6\cdots 6}_{n\text{ times}}.\underbrace{6\cdots 6}_{n\text{ times}} \\ =& 6(1.1+11.11+111.111+\cdots+\underbrace{1\cdots 1}_{n\text{ times}}.\underbrace{1\cdots 1}_{n\text{ times}}) \\ =& \frac{6}{9}(9.9+99.99+999.999+\cdots+\underbrace{9\cdots 9}_{n\text{ times}}.\underbrace{9\cdots 9}_{n\text{ times}}) \\ =& \frac{6}{9}\left[\left(10-0.1\right)+\left(100-0.01\right)+\cdots +\left(1\underbrace{0\cdots 0}_{n\text{ times}}-0.\underbrace{0\cdots 0}_{n-1\text{ times}}1\right)\right] \\ =& \frac{6}{9}\left[\left(10-\frac{1}{10}\right)+\left(100-\frac{1}{100}\right)+\cdots +\left(1\underbrace{0\cdots 0}_{n\text{ times}}-\frac{1}{1\underbrace{0\cdots 0}_{n\text{ times}}}\right)\right] \\ =& \frac{6}{9}\left[\left(10-\frac{1}{10}\right)+\left(10^2-\frac{1}{10^2}\right)+\cdots +\left(10^n-\frac{1}{10^n}\right)\right] \\ \end{array}$

The end behavior of a polynomial

$\begin{array}{lcr} \displaystyle\lim_{x\to \infty}{(\text{positive leading coefficient})\cdot x^{\text{odd}}}&=& \infty \\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(\text{positive leading coefficient})\cdot x^{\text{odd}}}&=& -\infty \\ \displaystyle\lim_{x\to \infty}{(\text{negative leading coefficient})\cdot x^{\text{odd}}}&=& -\infty \\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(\text{negative leading coefficient})\cdot x^{\text{odd}}}&=& \infty \\ \\ \displaystyle\lim_{x\to \infty}{(\text{positive leading coefficient})\cdot x^{\text{even}}}&=& \infty \\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(\text{positive leading coefficient})\cdot x^{\text{even}}}&=& \infty \\ \displaystyle\lim_{x\to \infty}{(\text{negative leading coefficient})\cdot x^{\text{even}}}&=& -\infty \\ \displaystyle\lim_{x\to -\infty}{(\text{negative leading coefficient})\cdot x^{\text{even}}}&=& -\infty \\ \end{array}$

設a、b為整數，且 $\frac{5}{a}-\frac{4}{b}=3$ ，則數對(a, b)共有幾組解？Ans: 5 $\begin{array}{lll} \frac{5}{a}-\frac{4}{b}=3 & \Rightarrow & 5b-4a=3ab \\ & \Rightarrow & 3ab+4a-5b=0 \\ & \Rightarrow & (3a-5)(b+\frac{4}{3})=\frac{-20}{3} \\ & \Rightarrow & (3a-5)(3b+4)=-20 \end{array}$ 窮舉討論。

直角三角形整數邊長
3:4:5
6:8:10
5:12:13
15:20:25
7:24:25
8:15:17
20:21:29
高中數學第一冊第一章：絕（絕對值）、乘（乘法公式）、根（根式）、算（算幾不等式）、指對（指數與對數）

華盛頓高中數學自編教材目錄

高一上v1

第一章 數與式
1-1 數與數線
1-2 式的運算
第二章 指數與對數
2-1 指數
2-2 常用對數
第三章 多項式函數
3-1 多項式的運算與應用
3-2 簡單多項式函數及其圖形
3-3 多項式函數的圖形與多項式不等式
第四章 直線與圓
4-1 直線方程式及其圖形
4-2 直線方程式的應用
4-3 圓與直線的關係
  
高一下v2

第一章 數列與級數
1-1 數列與級數
1-2 數學歸納法與遞迴關係式
第二章 排列與組合
2-1 邏輯、集合與計數原理
2-2 排列
2-3 組合
2-4 機率
第三章 數據分析
3-1 一維數據分析
3-2 二維數據分析
第四章 三角比
4-1 直角三角形的三角比
4-2 廣義角的三角比
4-3 三角比性質

高二上v3

第一章
（未完成）
第二章 指數與對數函數
2-1 指數函數及其圖形
2-2 對數與對數律
2-3 對數函數及其圖形
2-4 指數與對數函數的應用
第三章 平面向量
3-1 平面向量的表示法
3-2 平面向量的內積
3-3 面積與二階行列式

高三下v4
第一章 向量空間
1-1 空間概念
1-2 空間向量的坐標表示法
1-3 空間向量的內積
1-4 外積、體積與行列式
第二章 空間中的平面與直線
2-1 平面方程式
2-2 空間直線方程式
第三章 機率
3-1 主觀機率與客觀機率
3-2 條件機率與獨立事件
3-3 貝氏定理

華盛頓高中分班
精英班
普通班（英語資優班）
寰宇班（雙語實驗班）
國語資優班
數理資優班

指數與對數

底同指不同
$a^m a^n=a^{m+n}$
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
指同底不同
$(ab)^n=a^n b^n$	$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$	$(ab)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}b^{\frac{1}{n}}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$	$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$	$\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}$
指數相乘
$(a^m)^n=a^{mn}$

Exponential	translation	Logarithmic
$x=a^m$	→	$\log_a{x}=m$
$y=a^n$	→	$\log_a{y}=n$
$xy=a^m\cdot a^n=a^{m+n}$	→	$\log_a{xy}=m+n$ $=\log_a{x}+\log_a{y}$

三角函數

沒什麼規律，不好記

	180°-θ	90°-θ	-θ	90°+θ	180°+θ
sin	+	cos	-	cos	-
cos	-	sin	+	-sin	-
tan	-		-		+

沒什麼規律，不好記

	270°-θ	180°-θ	90°-θ	-θ	90°+θ	180°+θ	270°+θ
sin	-cos	+	cos	-	cos	-	-cos
cos	-sin	-	sin	+	-sin	-	sin
tan		-		-		+

Sums of Sines and Cosines

If

$A$ and

$B$ are real numbers, then

$A\sin{x}+B\cos{x}=k\sin{(x+\phi)}$ where

$k=\sqrt{A^2+B^2}$ and

$\phi$ satisfies

$\cos{\phi}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \text{ and } \sin{\phi}=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$
令

$f(x)=A\sin{x}+B\cos{x}=k\sin{(x+\phi)}$ ，
當

$\sin{x}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 及

$\cos{x}=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 時，

$f(x)$ 有最大值

$\sqrt{A^2+B^2}$ 。
當

$\sin{x}=\frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 及

$\cos{x}=\frac{-B}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 時，

$f(x)$ 有最小值

$-\sqrt{A^2+B^2}$ 。

證明：當

$x+\phi=90^{\circ}$ 時，

$\sin{(x+\phi)}=1$ 且

$f(x)$ 有最大值

$\sqrt{A^2+B^2}$ 。
而當

$x+\phi=90^{\circ}$ 時，

$x=90^{\circ}-\phi$ 且

$\sin{x}=\sin{(90^{\circ}-\phi)}=\cos{\phi}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 。

統計

$\begin{array}{lcccccccl} \text{sine} & \sin{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \cos{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} & \text{cosine} \\ \text{tangent} & \tan{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \cot{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} & \text{cotangent}\\ \text{secant} & \sec{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \csc{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} & \text{cosecant} \end{array}$

$\begin{array}{lcccccccl} & \sin{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \csc{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} \\ & \tan{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \cot{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} \\ & \sec{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \cos{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \end{array}$

相關係數

$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}$ 絕對值小於1的證明（介於-1到1之間）

由柯西不等式 $(a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)$

將 $a_i, b_i$ 分別換成 $(x_i-\mu_x), (y_i-\mu_y)$ 。

迴歸直線證明 Suppose the regression line is

$y={m}x+{c}$ . We have to find

${m}$ and

${c}$ to minimize the following.

$\begin{array}{lll} \sum_{i=1}^{n}[y_i-({m}x_i+{c})]^2 &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2y_i({m}x_i+{c})+({m}x_i+{c})^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}x_i y_i-2{c}y_i+{m}^2 x_i^2+2{m}{c}x_i+{c}^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-2{c}\sum_{i=1}^{n}y_i+{m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2{m}{c}\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}{c}^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-2n{c}\mu_y+{m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2n{m}{c}\mu_x+n{c}^2 \\ &\stackrel{\text{squre}}{=}& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}^2+2({m}\mu_x-\mu_y){c}] \\ &=& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}^2+2({m}\mu_x-\mu_y){c}+({m}\mu_x-\mu_y)^2]-n({m}\mu_x-\mu_y)^2 \\ &=& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)^2]-n{m}^2\mu_x^2+2n{m}\mu_x\mu_y-n\mu_y^2 \\ &\stackrel{\text{group x, y}}{=}& {m}^2(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\mu_x^2)-2{m}(\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-n\mu_x \mu_y)+(\sum_{i=1}^{n}y_i^2-n\mu_y^2)+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& {m}^2 S_{xx}-2{m}S_{xy}+S_{yy}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}^2-2{m}\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)+S_{yy}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}^2-2{m}\frac{S_{xy}}{S_{xx}}+\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}^2}\right)+S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+\frac{S_{xx}S_{yy}-S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2. \end{array}$ minimum occurs at

${m}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}$ and

${c}=\mu_y-{m}\mu_x=\mu_y-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\mu_x$ . Therefore, the regression line is

$y=mx+c=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}x+\mu_y-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\mu_x$ . That is,

$y-\mu_y=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\mu_x).$

算幾不等式的證明

$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

x的長度可以從圖中的三個直角三角形利用畢氏定理得到，也就是

$(x^2+a^2)+(x^2+b^2)=(a+b)^2$ 。

設正實數a的純小數部分為b，已知a+b²=n，n為整數，求b
因為0<b<1，所以0<b²<1且n-1<a=n-b²<n，由此知a的整數部分為n-1。將a=(n-1)+b代入a+b²=n，得b²+b-1=0，解得b=(-1+√5)/2

91學測
若實數

$a, b, c$ 滿足

$abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c$ ，則下列選項何者為真？ (1)

$a>0$ (2)

$b>0$ (3)

$c>0$ (4)

$|a|>|b|$ (5)

$a^2>c^2$
Ans: (1)(4)(5)
翰林校用卷A卷第一冊1-1
設三實數

$a, b, c$ 滿足條件：

$abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c$ ，試求

$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}-\frac{a+b}{|a+b|}-\frac{b+c}{|b+c|}-\frac{c+a}{|c+a|}$ 之值為下列哪一個選項？
Ans: -2
中科實中考古題
設三實數

$a, b, c$ 滿足條件：

$abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c$ ，試求

$\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{a+b}{|a+b|}+\frac{a+c}{|a+c|}+\frac{b+c}{|b+c|}+\frac{a+b+c}{|a+b+c|}$

相似題，相異解
第一題：∆ABC中，過A, B, C的三中線長依序為5, 6, 7，求∆ABC的面積為？8√6（對話式數2，p.236, exa.10.2）

解：令AM=5, BP=6, CN=7。以GB及GC為兩邊做平行四邊形GBDC，則GD=2GM=2*1/3*AM=10/3，BG=2/3*BP=4，BD=GC=2/3*CN=14/3，對∆BGD用海龍公式，得∆BGD面積為8√6/3。記得三角形三中線把三角形面積六等分，∆BGD面積佔了其中的兩份，所以∆ABC=3*∆BGD=8√6。
第二題：∆ABC的重心為G，已知GA=4, GB=5, GC=3，求邊長BC？2√13（對話式數2，p.238, exa.11.2）

解：由三角形中線的性質，AG:GM=2:1，所以GM=2，對∆BGC用中線定理，GB²+GC²=2(GM²+BM²)

由三中線求面積，由三高求面積（有沒有由三分角線求面積？）
第一題：∆ABC中，過A, B, C的三中線長依序為5, 6, 7，求∆ABC的面積為？8√6（對話式數2，p.236, exa.10.2）
第二題：設∆ABC過A的高為h_a=6，過B的高為h_b=3，過C的高為h_c=4，求∆ABC的面積為？16√15/5（對話式數2，p.237, exe.38）
由h_a:h_b:h_c得到a:b:c，再用一組底×高÷2=海龍公式。

∠C=90°, AC:BC=3:5, BD:CD=2:3, ∠BAD=θ, tan θ=?

由題設，BD=2r, CD=3r, AC=3r, AD=3√2r, AB=√34r
做AB邊上的高DE，由ABD=½*BD*AC=½*AB*DE，得到DE=(6/√34)r
接著如果再求AE才求tan θ=DE/AE，會很複雜。
所以我們要用別的方法，就是直接用sin θ求出tan θ，也就是sin θ=DE/AD及

$\tan^2{\theta}=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}=\frac{\sin^2{\theta}}{1-\sin^2{\theta}}$

一題好題目：已知兩點A(2cosα, 2sinα), B(cosβ, sinβ)且α-β=60°，則線段AB的長度為Ans:√3

Area of Quadrilateral Formula，四邊形的面積公式（知道兩對角線長度及夾角）

四邊形ABCD，做AC的平行線BE及DF，連接EF會與BD平行。於是

$ABCD=ABD+DBC=CEF+DBC=\frac{1}{2}\times BEFD=\frac{1}{2}\times 2\times BFD=\frac{1}{2}\times 2\times \frac{1}{2}\times BD\times DF\times \sin{\theta}$

求過圓上一點的切線方程式用斜率
求過圓外一點的切線方程式用點線距

第一題：過圓(x-3)²+(y+2)²=29上的點(1,3)所作的切線方程式為Ans: -2x+5y=13（對話式數1, p.137, exa.3.1）
求圓心(3,-2)與點(1,3)的連線斜率，此半徑與切線垂直，由此得切線斜率，用點斜式得切線。
第二題：過圓C:(x-1)²+(y+2)²=25外一點P(8,-1)作圓C的兩條切線，求切線方程式為Ans: 3x+4y=20, 4x-3y=35（對話式數1, p.139, exa.5.1）
假設切線斜率為m，可假設切線方程為y-(-1)=m(x-8)，圓心到此切線的距離為半徑，用點線距公式求出m。

根軸公式的證明（ＯＯ高中陳Ｏ祥老師）

已知兩圓 $C_1:f(x,y)=0$ 及 $C_2:g(x,y)=0$ 相交於相異兩點 $P(a,b)$ 及 $Q(c,d)$ ，則直線 $\overleftrightarrow{PQ}$ 的方程式為 $f(x,y)-g(x,y)=0$ 。

證明：因為點 $P$ 在圓 $C_1$ 上，所以將點 $P$ 的座標代入 $f(x,y)$ 可以得到 $f(a,b)=0$ 。又因為點 $P$ 也在圓 $C_2$ 上，所以 $g(a,b)=0$ 。於是有 $f(a,b)-g(a,b)=0-0=0$ ，這表示點 $P$ 在直線 $f(x,y)-g(x,y)=0$ 上。

類似地，我們也可以得到點 $Q$ 在直線 $f(x,y)-g(x,y)=0$ 上。而兩點決定一條直線，所以 $f(x,y)-g(x,y)=0$ 就是通過點 $P$ 及點 $Q$ 的直線方程式。

因數與倍數

  
用配對法求所有因數
用短除法求質因數分解
由質因數分解求所有因數

用短除法求最大公因數與最小公倍數，
用質因數分解求最大公因數與最小公倍數，

混合濃度問題（三杯雞）

濃度8%的食鹽水和濃度5%的食鹽水，各取多少克，可以混合成濃度6%的食鹽水300克。

用三個杯子來記，上面兩個杯子倒入下面的杯子

ㄩ		ㄩ
	ㄩ

比賽輸贏問題（井字法）

甲乙競賽，贏得2分，輸得1分，沒有平手，今甲得12分，乙得18分，試問比賽結果。

	甲	乙
贏	x	y
輸	y	x

巴斯卡定理（個人的記憶法）

$\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}$ ，上標為列，下標為行，注意到按照此編號排序，加的規則變成：上加下等於右下，一個L型。

	10	11	12	13
5	$\binom{10}{5}$
6	$\binom{10}{6}$
7		$\binom{11}{7}$
8			$\binom{12}{8}$

平行四邊形

	平行四邊形
菱形（邊一樣）	∩	長方形（角一樣）
	正方形

	parallelogram [͵pærəˋlɛlə͵græm]
rhombus [ˋrɑmbəs]	∩	rectangle
	square

四邊形\對角線	平分	垂直	等長
正方形	V	V	V
長方形	V		V
平行四邊形	V
菱形	V	V
箏形		V

$9^{20}$ 為幾位數？乘開後的最高位數為何？

$\log{9^{20}}=20\log{9}=20\log{3^2}=40\log{3}=40\cdot 0.4771=19.084$ 。

由log的定義， $9^{20}=10^{19.084}=10^{19}\cdot 10^{0.084}$ ，看一下0.084介在下表的哪兩個數中間。

$\begin{array}{rcl} \log{1} &=& 0 \\ \log{2} &=& 0.301 \\ \log{3} &=& 0.4771 \\ \log{5} &=& \log{\frac{10}{2}}=0.699 \\ \log{6} &=& \log{2}+\log{3}=0.778 \\ \log{7} &=& 0.8451 \\ \log{8} &=& \log{2^3}=0.903 \\ \log{9} &=& \log{3^2}=0.9542 \\ \end{array}$ 知道

$0<0.084<0.301$ 所以

$1=10^0<10^{0.084}<10^{0.301}=2$

所以 $9^{20}$ 為一個20位數的數字，且 $9^{20}$ 的最高位數為 $1$ 。

學測106, 7
小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
(1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84

先想想，不可能有以下情形。

零天飯
一天飯
四天飯
五天飯

接著再分「兩天飯」及「三天飯」兩種情形討論。

兩天飯：在此情形之下，因為麵不得相鄰，所以必為「麵飯麵飯麵」。於是飯有兩種選擇。因為總共有三天麵，而麵總共只有兩種，所以一定會有兩天吃到重複的麵，第三天吃不同的麵，所以我們先決定會重複的麵種，共有兩種。最後是這三個麵在排列（其中兩個重複）。所以總共有 $2\times 2\times 3=12$ 種組合方法。

三天飯：在此情形之下，先排飯，再把麵插空隙。先排飯又有分兩種，一種是相同的飯不會相鄰，另一種是相同的飯有可能相鄰。

__咖__排__咖__，這種情形下兩個麵可以亂插，所以是 $C^4_2\times 2=12$ 種。
__排__咖__排__，同上，共12種。
__排__排__咖__，這種情形下，一定要有一個麵插到兩個「排」的中間，也就是「__排麵排__咖__」，剩下一個麵再插到剩下空隙中，共有 $2\times 3$ 種。
__咖__咖__排__，同上，共 $6$ 種。
__咖__排__排__，同上，共 $6$ 種。
__排__咖__咖__，同上，共 $6$ 種。

下面這兩題是相同的解法。
從1到20的自然數中取出三個不同的數，則三數成等差的取法有多少種？
從1到20的自然數中取出兩個不同的數，則兩數和為偶數的取法有多少種？
聽說此解法取自徐氏數學，未驗證。
我的做法是按照公差

$d=9, d=8, ..., d=1$ 來討論，並找出規律。

一列火車從第一車到第十車共有十節車廂，若要求此三節車廂兩兩不相銜接，則共有多少種方法？
先將不相鄰的三節車廂挑出，剩下七節車廂，有八個空隙，再把這三節車廂插空隙。
一開始看起來不能用插空隙，可是其實可以，例如下圖

如果是插了下圖中的三個空隙，

那這些標記代表的車廂號碼為

1				5			8
V				V			V
	O	O	O		O	O		O	O
	2	3	4		6	7		9	10

有18本不同的書，按下述條件求其分法：

	三堆不同數量（5, 6, 7）	兩堆相同數量（5, 5, 8）
分三堆	$\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}$	$\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\cdot \frac{1}{2!}$
不確定三人	$\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\cdot 3!$	$\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\cdot \frac{3!}{2!}$
確定三人	$\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}$	$\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}$

單淘汰賽

			ㄇ
	ㄇ				ㄇ
ㄇ		ㄇ		ㄇ		ㄇ

$\frac{\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{2!2!2!}$

			ㄇ
	ㄇ			Γ
ㄇ		ㄇ		\|	ㄇ

$\frac{\binom{7}{2}\binom{5}{2}\binom{3}{1}\binom{2}{2}}{2}$

		ㄇ
Γ			Γ
\|	ㄇ		\|	ㄇ

$\frac{\binom{6}{1}\binom{5}{2}\binom{3}{1}\binom{2}{2}}{2}$

有4相同紅球、2相同藍球及2相同綠球全分給5人，若每人可拿一顆球或兩顆不同顏色的球（但不可不拿），則共有幾種不同的分配方式。（台中一中105段考）

注意到，必有四人各拿一顆紅球，也就是必有一人沒拿紅球，沒拿紅球的這個人有五種選擇。

接著，沒拿紅球的這個人，他所拿到的球，有三種情形。

1. 只拿一顆藍球，把五個人拿的球用符號表示，例如

RRRRB
BGG
表示第一個人拿RB，第二個人拿RG，第三個人拿RG，第四個人只拿R，第五個人只拿B

或是

RRRRB
G BG
表示第一個人拿RG，第二個人只拿R，第三個人拿RB，第四個人拿RG，第五個人只拿B

所以有BGG三個字母在四個位置排列，有P4取3除以2=12，再乘以一開始的五，所以是60。

2. 只拿一顆綠球
跟情形一類似。

3. 拿一顆藍球一顆綠球，把五個人拿的球用符號表示，例如

RRRRB
G B G
表示第一個人拿RG，第二個人只拿R，第三個人拿RB，第四個人只拿R，第五個人拿BG

所以變成BG兩個字母在四個位置排列，有P4取2種，再乘以一開始的五，所以是60。

總共180

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