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數學雜題

• 根軸公式的證明（ＯＯ高中陳Ｏ祥老師）

已知兩圓 \(C_1:f(x,y)=0\) 及 \(C_2:g(x,y)=0\) 相交於相異兩點 \(P(a,b)\) 及 \(Q(c,d)\)，則直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 的方程式為 \(f(x,y)-g(x,y)=0\)。

證明：因為點 \(P\) 在圓 \(C_1\) 上，所以將點 \(P\) 的座標代入 \(f(x,y)\) 可以得到 \(f(a,b)=0\)。又因為點 \(P\) 也在圓 \(C_2\) 上，所以 \(g(a,b)=0\)。於是有 \(f(a,b)-g(a,b)=0-0=0\)，這表示點 \(P\) 在直線 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 上。

類似地，我們也可以得到點 \(Q\) 在直線 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 上。而兩點決定一條直線，所以 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 就是通過點 \(P\) 及點 \(Q\) 的直線方程式。

• 平行四邊形

	平行四邊形
菱形（邊一樣）	∩	長方形（角一樣）
	正方形

	parallelogram [͵pærəˋlɛlə͵græm]
rhombus [ˋrɑmbəs]	∩	rectangle
	square



四邊形\對角線	平分	垂直	等長
正方形	V	V	V
長方形	V		V
平行四邊形	V
菱形	V	V
箏形		V

• \(9^{20}\)為幾位數？乘開後的最高位數為何？

\(\log{9^{20}}=20\log{9}=20\log{3^2}=40\log{3}=40\cdot 0.4771=19.084\)。

由log的定義，\(9^{20}=10^{19.084}=10^{19}\cdot 10^{0.084}\)。因為 \(1=10^0\lt 10^{0.084}<10^1=10\)，所以 \(9^{20}\) 為一個20位數的數字。

又因為 \(1=10^0\lt 10^{0.084}\lt 10^{0.301}=2\)（由 \(\log{2}=0.301\)），所以 \(9^{20}\) 的最高位數為 \(1\)。

• 學測106, 7
  小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
  （甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
  （乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
  根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
  (1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84

先想想，不可能有以下情形。

• 零天飯
• 一天飯
• 四天飯
• 五天飯

接著再分「兩天飯」及「三天飯」兩種情形討論。

兩天飯：在此情形之下，因為麵不得相鄰，所以必為「麵飯麵飯麵」。於是飯有兩種選擇。因為總共有三天麵，而麵總共只有兩種，所以一定會有兩天吃到重複的麵，第三天吃不同的麵，所以我們先決定會重複的麵種，共有兩種。最後是這三個麵在排列（其中兩個重複）。所以總共有 \(2\times 2\times 3=12\) 種組合方法。

三天飯：在此情形之下，先排飯，再把麵插空隙。先排飯又有分兩種，一種是相同的飯不會相鄰，另一種是相同的飯有可能相鄰。

• __咖__排__咖__，這種情形下兩個麵可以亂插，所以是 \(C^4_2\times 2=12\) 種。
• __排__咖__排__，同上，共12種。
• __排__排__咖__，這種情形下，一定要有一個麵插到兩個「排」的中間，也就是「__排麵排__咖__」，剩下一個麵再插到剩下空隙中，共有 \(2\times 3\) 種。
• __咖__咖__排__，同上，共 \(6\) 種。
• __咖__排__排__，同上，共 \(6\) 種。
• __排__咖__咖__，同上，共 \(6\) 種。