| 兩點式 | \(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}, y-y_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)\) |
| 點斜式 | \(y-y_1=m(x-x_1)\) |
| 斜截式 | \(y=mx+b\)（用點斜式推） |
| 截距式 | \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)（用兩點式推） |
| 一般式 | \(ax+by+c=0\) |
| 數列 | 級數 | |
| 等差 | \(a_1\) \(a_2=a_1+d\), \(a_3=a_1+2d\) \(a_4=a_1+3d\) ... \(a_n=a_1+(n-1)d\) | \(S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\) |
| 等比 | \(a_1\) \(a_2=a_1 r\) \(a_3=a_1 r^2\) \(a_4=a_1 r^3\) ... \(a_n=a_1 r^{n-1}\) | \(S_n=\frac{a_1(1-r^{n-1})}{(1-r)}\) |
數學雜題
✍️🙋♂️🙋♀️🧑🏫👨🏫👩🏫📖📅²³πθ°√αβ±≤≥÷≠∈∠⋅
圓內角，圓周角，圓外角，注意到圓周角是圓內角或是圓外角的特例
\(I\) 為 \(\triangle ABC\) 的內心，\(P\) 為任一點，則 \[ \vec{PI}=\frac{a}{a+b+c}\vec{PA}+\frac{b}{a+b+c}\vec{PB}+\frac{c}{a+b+c}\vec{PC}. \] \(G\) 為 \(\triangle ABC\) 的重心，\(P\) 為任一點，則 \[ \vec{PG}=\frac{1}{3}\vec{PA}+\frac{1}{3}\vec{PB}+\frac{1}{3}\vec{PC}. \] \(O\) 為 \(\triangle ABC\) 的外心，則 \[ \vec{AO}\cdot \vec{AB}=\frac{1}{2}\overline{AB}^2. \] \(H\) 為 \(\triangle ABC\) 的垂心，則 \[ \vec{AH}\cdot \vec{AB}=\vec{AB}\cdot \vec{AC}. \]
\(\triangle ABC\) 中，\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\)，\(\overline{AB}=c, \overline{BC}=a, \overline{CA}=b\)，則
內心 \(I\) 坐標為 \[ I=\left(\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c}\right) \]
重心 \(G\) 坐標為 \[ G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \]
設a、b為整數，且 \(\frac{5}{a}-\frac{4}{b}=3\)，則數對(a, b)共有幾組解？Ans: 5 \[ \begin{array}{lll} \frac{5}{a}-\frac{4}{b}=3 & \Rightarrow & 5b-4a=3ab \\ & \Rightarrow & 3ab+4a-5b=0 \\ & \Rightarrow & (3a-5)(b+\frac{4}{3})=\frac{-20}{3} \\ & \Rightarrow & (3a-5)(3b+4)=-20 \end{array} \] 窮舉討論。
直角三角形整數邊長
3:4:5
6:8:10
5:12:13
15:20:25
7:24:25
8:15:17
20:21:29
高中數學第一冊第一章：絕（絕對值）、乘（乘法公式）、根（根式）、算（算幾不等式）、指對（指數與對數） \[ \begin{array}{lcccccccl} \text{sine} & \sin{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \cos{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} & \text{cosine} \\ \text{tangent} & \tan{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \cot{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} & \text{cotangent}\\ \text{secant} & \sec{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{complementary}}{\leftrightarrow} & \csc{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} & \text{cosecant} \end{array} \] \[ \begin{array}{lcccccccl} & \sin{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \csc{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite}} \\ & \tan{\theta} & = & \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \cot{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}} \\ & \sec{\theta} & = & \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} & \stackrel{\text{reciprocal}}{\leftrightarrow} & \cos{\theta} & = & \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \end{array} \]
華盛頓高中數學自編教材目錄 高一上v1 第一章 數與式 1-1 數與數線 1-2 式的運算 第二章 指數與對數 2-1 指數 2-2 常用對數 第三章 多項式函數 3-1 多項式的運算與應用 3-2 簡單多項式函數及其圖形 3-3 多項式函數的圖形與多項式不等式 第四章 直線與圓 4-1 直線方程式及其圖形 4-2 直線方程式的應用 4-3 圓與直線的關係 高一下v2 第三章 數據分析 3-1 一維數據分析 3-2 二維數據分析 第四章 三角比 4-1 直角三角形的三角比 4-2 廣義角的三角比 4-3 三角比性質 高二上v3 第一章 第二章 指數與對數函數 2-1 指數函數及其圖形 2-2 對數與對數律 2-3 對數函數及其圖形 2-4 指數與對數函數的應用 華盛頓高中分班 精英班 普通班（英語資優班） 寰宇班（雙語實驗班） 國語資優班 數理資優班
指數與對數
- \(a^m a^n=a^{m+n}\)
- \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
- \((a^m)^n=a^{mn}\)
- \((ab)^m=a^m b^m\)
- \(\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}\)
- \(a^{-1}=\frac{1}{a}\)
- \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)
- \(\log_{a}xy=\log_a{x}+\log_a{y}\)
- \(\log_{a}\frac{x}{y}=\log_a{x}-\log_a{y}\)
- \(\log_{a}x^m=m\log_a{x}\)
- \(\log_{a^n}x=\frac{1}{n}\log_a{x}\)
- \(\log_{a}x=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}a}\)
- \(a^{\log_{a}x}=x\)
| 相乘 | 相除 | |
| 同底 | \(a^m a^n=a^{m+n}\) | \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) |
| 同指 | \((ab)^n=a^n b^n\) | \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\) |
| 底同指不同 | ||
| \(a^m a^n=a^{m+n}\) | ||
| \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) | ||
| 指同底不同 | ||
| \((ab)^n=a^n b^n\) | \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\) | \((ab)^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}b^{\frac{1}{n}}\) |
| \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\) | \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) | \(\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}\) |
| 指數相乘 | ||
| \((a^m)^n=a^{mn}\) |
| Exponential | translation | Logarithmic |
| \(x=a^m\) | → | \(\log_a{x}=m\) |
| \(y=a^n\) | → | \(\log_a{y}=n\) |
| \(xy=a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) | → | \(\log_a{xy}=m+n\)\(=\log_a{x}+\log_a{y}\) |
三角函數
| 30° | 45° | 60° | |
| sin | \(\frac{\sqrt{1}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| cos | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{1}}{2}\) |
| tan | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) |
| 180°-θ | -θ | 180°+θ | |
| sin | +sinθ | -sinθ | -sinθ |
| cos | -cosθ | +cosθ | -cosθ |
| tan | -tanθ | -tanθ | +tanθ |
| 180°-θ | 90°-θ | -θ | 90°+θ | 180°+θ | |
| sin | + | cos | - | cos | - |
| cos | - | sin | + | -sin | - |
| tan | - | - | + |
沒什麼規律，不好記
| 270°-θ | 180°-θ | 90°-θ | -θ | 90°+θ | 180°+θ | 270°+θ | |
| sin | -cos | + | cos | - | cos | - | -cos |
| cos | -sin | - | sin | + | -sin | - | sin |
| tan | - | - | + |
| 正弦定理 \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\) 其中 \(R\) 為外接圓半徑 | 三角形面積公式 \(\frac{1}{2}ab\sin{C}\) \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) 其中 \(s\) 為半周長 \(\frac{a+b+c}{2}\) | 分角線長度公式 \(AD^2=AB\times AC-BD\times DC\) |
| 餘弦定理 \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\) \(\cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) | 四邊形面積公式 \(\frac{1}{2}(a+b)(c+d)\sin{\theta}\) | 中線長度公式 \(AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)\) |
\(\sin{(A+B)}=\sin{A}\cos{B}+\sin{B}\cos{A}\)
\(\sin{(A-B)}=\sin{A}\cos{B}-\sin{B}\cos{A}\)
\(\cos{(A+B)}=\cos{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B}\)
\(\cos{(A-B)}=\cos{A}\cos{B}+\sin{A}\sin{B}\)
\(\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(\tan{(A-B)}=\frac{\tan{A}-\tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}}\)
\(\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}\)
\(\cos{2\theta}=\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}=1-2\sin^2{\theta}=2\cos^2{\theta}-1\)
\(\tan{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\)
\(\sin{\frac{\theta}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\theta}}{2}}\)
\(\cos{\frac{\theta}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\theta}}{2}}\)
\(\tan{\frac{\theta}{2}}=\frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}}\)
*\(\sin{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
*\(\cos{2\theta}=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
Sums of Sines and Cosines
If \(A\) and \(B\) are real numbers, then \[ A\sin{x}+B\cos{x}=k\sin{(x+\phi)} \] where \(k=\sqrt{A^2+B^2}\) and \(\phi\) satisfies \[ \cos{\phi}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} \text{ and } \sin{\phi}=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}} \]
令 \(f(x)=A\sin{x}+B\cos{x}=k\sin{(x+\phi)}\)，
當 \(\sin{x}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 及 \(\cos{x}=\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 時，\(f(x)\) 有最大值 \(\sqrt{A^2+B^2}\)。
當 \(\sin{x}=\frac{-A}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 及 \(\cos{x}=\frac{-B}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 時，\(f(x)\) 有最小值 \(-\sqrt{A^2+B^2}\)。
證明：當 \(x+\phi=90^{\circ}\) 時，\(\sin{(x+\phi)}=1\) 且 \(f(x)\) 有最大值 \(\sqrt{A^2+B^2}\)。
而當 \(x+\phi=90^{\circ}\) 時，\(x=90^{\circ}-\phi\) 且 \(\sin{x}=\sin{(90^{\circ}-\phi)}=\cos{\phi}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。
統計
數據平移與伸縮對各統計量的影響
| 數據 | +a | *k |
| 均中眾 | +a | *k |
| 差距 | X | *|k| |
均中眾表示算術平均數、中位數、眾數，差距表示標準差、全距。
\(\mu_{ax+b}=a\mu_x+b\)
\(\mu_{cy+d}=c\mu_y+d\)
\(\sigma_{ax+b}=|a|\sigma_x\)
\(\sigma_{cy+d}=|c|\sigma_y\)
\(S_{ax+b, ax+b}=a^2S_{xx}\)
\(S_{cy+d, cy+d}=c^2S_{yy}\)
\(S_{ax+b,cy+d}=acS_{xy}\)
\(r_{ax+b,cy+d}=\frac{ac}{|ac|}r_{x,y}\)
相關係數與迴歸直線
相關係數 \(r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}\)（要背下來）
回歸直線 \(y-\mu_y=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\mu_x)\)（證明在下面）
算法如下
\(\mu_x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\)
\(\mu_y=\frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}\)
| \(x_i-\mu_x\) | \(y_i-\mu_y\) | \((x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)\) | \((x_i-\mu_x)^2\) | \((y_i-\mu_y)^2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| 0 | 0 | \(S_{xy}\) | \(S_{xx}\) | \(S_{yy}\) |
下面證明迴歸直線的公式
| \(\sigma_x\) | = | \(\sqrt{\frac{(x_1-\mu_x)^2+(x_2-\mu_x)^2+\cdots+(x_n-\mu_x)^2}{n}}\) | = | \(\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2-n\mu_x^2}{n}}\) |
| \(\downarrow\) | \(\downarrow\) | |||
| \(\sigma_x=\sqrt{\frac{S_{xx}}{n}}, \sigma_y=\sqrt{\frac{S_{yy}}{n}}\) | \(S_{xx}=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2-n\mu_x^2\) | |||
| \(\sqrt{S_{xx}}=\sqrt{n}\sigma_x, \sqrt{S_{yy}}=\sqrt{n}\sigma_y\) | \(S_{yy}=y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2-n\mu_y^2\) | |||
| \(S_{xx}=n\sigma_x^2, S_{yy}=n\sigma_y^2\) | \(S_{xy}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n-n\mu_x\mu_y\) |
相關係數 \(r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}\) 絕對值小於1的證明（介於-1到1之間）
由柯西不等式 \[ (a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n)^2\leq (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2) \]
將 \(a_i, b_i\) 分別換成 \((x_i-\mu_x), (y_i-\mu_y)\)。
迴歸直線證明 Suppose the regression line is \(y={m}x+{c}\). We have to find \({m}\) and \({c}\) to minimize the following. \[ \begin{array}{lll} \sum_{i=1}^{n}[y_i-({m}x_i+{c})]^2 &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2y_i({m}x_i+{c})+({m}x_i+{c})^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}x_i y_i-2{c}y_i+{m}^2 x_i^2+2{m}{c}x_i+{c}^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-2{c}\sum_{i=1}^{n}y_i+{m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2{m}{c}\sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}{c}^2 \\ &=& \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-2n{c}\mu_y+{m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2+2n{m}{c}\mu_x+n{c}^2 \\ &\stackrel{\text{squre}}{=}& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}^2+2({m}\mu_x-\mu_y){c}] \\ &=& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}^2+2({m}\mu_x-\mu_y){c}+({m}\mu_x-\mu_y)^2]-n({m}\mu_x-\mu_y)^2 \\ &=& {m}^2\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2{m}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i+\sum_{i=1}^{n}y_i^2+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)^2]-n{m}^2\mu_x^2+2n{m}\mu_x\mu_y-n\mu_y^2 \\ &\stackrel{\text{group x, y}}{=}& {m}^2(\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\mu_x^2)-2{m}(\sum_{i=1}^{n}x_i y_i-n\mu_x \mu_y)+(\sum_{i=1}^{n}y_i^2-n\mu_y^2)+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& {m}^2 S_{xx}-2{m}S_{xy}+S_{yy}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}^2-2{m}\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)+S_{yy}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}^2-2{m}\frac{S_{xy}}{S_{xx}}+\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}^2}\right)+S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+S_{yy}-\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2 \\ &=& S_{xx}\left({m}-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\right)^2+\frac{S_{xx}S_{yy}-S_{xy}^2}{S_{xx}}+n[{c}+({m}\mu_x-\mu_y)]^2. \end{array} \] minimum occurs at \({m}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\) and \({c}=\mu_y-{m}\mu_x=\mu_y-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\mu_x\). Therefore, the regression line is \(y=mx+c=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}x+\mu_y-\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\mu_x\). That is, \[ y-\mu_y=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-\mu_x). \]
算幾不等式的證明
\(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)
x的長度可以從圖中的三個直角三角形利用畢氏定理得到，也就是 \((x^2+a^2)+(x^2+b^2)=(a+b)^2\)。
設正實數a的純小數部分為b，已知a+b²=n，n為整數，求b
因為0<b<1，所以0<b²<1且n-1<a=n-b²<n，由此知a的整數部分為n-1。將a=(n-1)+b代入a+b²=n，得b²+b-1=0，解得b=(-1+√5)/2
91學測
若實數 \(a, b, c\) 滿足 \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\)，則下列選項何者為真？ (1) \(a>0\) (2) \(b>0\) (3) \(c>0\) (4) \(|a|>|b|\) (5) \(a^2>c^2\)
Ans: (1)(4)(5)
翰林校用卷A卷第一冊1-1
設三實數 \(a, b, c\) 滿足條件： \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\)，試求 \(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}-\frac{a+b}{|a+b|}-\frac{b+c}{|b+c|}-\frac{c+a}{|c+a|}\) 之值為下列哪一個選項？
Ans: -2
中科實中考古題
設三實數 \(a, b, c\) 滿足條件： \(abc>0, ab+bc+ca<0, a+b+c>0, a>b>c\)，試求 \(\frac{a}{|a|}+\frac{b}{|b|}+\frac{c}{|c|}+\frac{a+b}{|a+b|}+\frac{a+c}{|a+c|}+\frac{b+c}{|b+c|}+\frac{a+b+c}{|a+b+c|}\)
相似題，相異解
第一題：∆ABC中，過A, B, C的三中線長依序為5, 6, 7，求∆ABC的面積為？8√6（對話式數2，p.236, exa.10.2）
解：令AM=5, BP=6, CN=7。以GB及GC為兩邊做平行四邊形GBDC，則GD=2GM=2*1/3*AM=10/3，BG=2/3*BP=4，BD=GC=2/3*CN=14/3，對∆BGD用海龍公式，得∆BGD面積為8√6/3。記得三角形三中線把三角形面積六等分，∆BGD面積佔了其中的兩份，所以∆ABC=3*∆BGD=8√6。
第二題：∆ABC的重心為G，已知GA=4, GB=5, GC=3，求邊長BC？2√13（對話式數2，p.238, exa.11.2）
解：由三角形中線的性質，AG:GM=2:1，所以GM=2，對∆BGC用中線定理，GB²+GC²=2(GM²+BM²)
由三中線求面積，由三高求面積（有沒有由三分角線求面積？）
第一題：∆ABC中，過A, B, C的三中線長依序為5, 6, 7，求∆ABC的面積為？8√6（對話式數2，p.236, exa.10.2）
第二題：設∆ABC過A的高為h_a=6，過B的高為h_b=3，過C的高為h_c=4，求∆ABC的面積為？16√15/5（對話式數2，p.237, exe.38）
由h_a:h_b:h_c得到a:b:c，再用一組底×高÷2=海龍公式。
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
a²+b²=(a+b)²-2ab
a²-b²=(a+b)(a-b)
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
∠C=90°, AC:BC=3:5, BD:CD=2:3, ∠BAD=θ, tan θ=?
由題設，BD=2r, CD=3r, AC=3r, AD=3√2r, AB=√34r
做AB邊上的高DE，由ABD=½*BD*AC=½*AB*DE，得到DE=(6/√34)r
接著如果再求AE才求tan θ=DE/AE，會很複雜。
所以我們要用別的方法，就是直接用sin θ求出tan θ，也就是sin θ=DE/AD及 \[ \tan^2{\theta}=\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}=\frac{\sin^2{\theta}}{1-\sin^2{\theta}} \]
一題好題目：已知兩點A(2cosα, 2sinα), B(cosβ, sinβ)且α-β=60°，則線段AB的長度為Ans:√3
Area of Quadrilateral Formula，四邊形的面積公式（知道兩對角線長度及夾角）
四邊形ABCD，做AC的平行線BE及DF，連接EF會與BD平行。於是 \[ ABCD=ABD+DBC=CEF+DBC=\frac{1}{2}\times BEFD=\frac{1}{2}\times 2\times BFD=\frac{1}{2}\times 2\times \frac{1}{2}\times BD\times DF\times \sin{\theta} \]
求過圓上一點的切線方程式用斜率
求過圓外一點的切線方程式用點線距
第一題：過圓(x-3)²+(y+2)²=29上的點(1,3)所作的切線方程式為Ans: -2x+5y=13（對話式數1, p.137, exa.3.1）
求圓心(3,-2)與點(1,3)的連線斜率，此半徑與切線垂直，由此得切線斜率，用點斜式得切線。
第二題：過圓C:(x-1)²+(y+2)²=25外一點P(8,-1)作圓C的兩條切線，求切線方程式為Ans: 3x+4y=20, 4x-3y=35（對話式數1, p.139, exa.5.1）
假設切線斜率為m，可假設切線方程為y-(-1)=m(x-8)，圓心到此切線的距離為半徑，用點線距公式求出m。
根軸公式的證明（ＯＯ高中陳Ｏ祥老師）
已知兩圓 \(C_1:f(x,y)=0\) 及 \(C_2:g(x,y)=0\) 相交於相異兩點 \(P(a,b)\) 及 \(Q(c,d)\)，則直線 \(\overleftrightarrow{PQ}\) 的方程式為 \(f(x,y)-g(x,y)=0\)。
證明：因為點 \(P\) 在圓 \(C_1\) 上，所以將點 \(P\) 的座標代入 \(f(x,y)\) 可以得到 \(f(a,b)=0\)。又因為點 \(P\) 也在圓 \(C_2\) 上，所以 \(g(a,b)=0\)。於是有 \(f(a,b)-g(a,b)=0-0=0\)，這表示點 \(P\) 在直線 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 上。
類似地，我們也可以得到點 \(Q\) 在直線 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 上。而兩點決定一條直線，所以 \(f(x,y)-g(x,y)=0\) 就是通過點 \(P\) 及點 \(Q\) 的直線方程式。
因數與倍數
用配對法求所有因數 用短除法求質因數分解 由質因數分解求所有因數 用短除法求最大公因數與最小公倍數， 用質因數分解求最大公因數與最小公倍數，
混合濃度問題（三杯雞）
濃度8%的食鹽水和濃度5%的食鹽水，各取多少克，可以混合成濃度6%的食鹽水300克。
用三個杯子來記，上面兩個杯子倒入下面的杯子
| ㄩ | ㄩ | |
| ㄩ |
比賽輸贏問題（井字法）
甲乙競賽，贏得2分，輸得1分，沒有平手，今甲得12分，乙得18分，試問比賽結果。
| 甲 | 乙 | |
| 贏 | x | y |
| 輸 | y | x |
巴斯卡定理（個人的記憶法）
\(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\)，上標為列，下標為行，注意到按照此編號排序，加的規則變成：上加下等於右下，一個L型。
| 10 | 11 | 12 | 13 | |
| 5 | \(\binom{10}{5}\) | |||
| 6 | \(\binom{10}{6}\) | |||
| 7 | \(\binom{11}{7}\) | |||
| 8 | \(\binom{12}{8}\) |
平行四邊形
| 平行四邊形 | ||
| 菱形（邊一樣） | ∩ | 長方形（角一樣） |
| 正方形 |
| parallelogram [͵pærəˋlɛlə͵græm] | ||
| rhombus [ˋrɑmbəs] | ∩ | rectangle |
| square |
| 四邊形\對角線 | 平分 | 垂直 | 等長 |
| 正方形 | V | V | V |
| 長方形 | V | V | |
| 平行四邊形 | V | ||
| 菱形 | V | V | |
| 箏形 | V |
| 圓 | 全部 | 部分 |
| 長度 | 圓周長=2rπ | 弧長=2rπθ/(2π) |
| 面積 | 圓面積=r²π | 扇形面積=r²πθ/(2π) |
\(9^{20}\)為幾位數？乘開後的最高位數為何？
\(\log{9^{20}}=20\log{9}=20\log{3^2}=40\log{3}=40\cdot 0.4771=19.084\)。
由log的定義，\(9^{20}=10^{19.084}=10^{19}\cdot 10^{0.084}\)。因為 \(1=10^0\lt 10^{0.084}<10^1=10\)，所以 \(9^{20}\) 為一個20位數的數字。
又因為 \(1=10^0\lt 10^{0.084}\lt 10^{0.301}=2\)（由 \(\log{2}=0.301\)），所以 \(9^{20}\) 的最高位數為 \(1\)。
學測106, 7
小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
(1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84
先想想，不可能有以下情形。
- 零天飯
- 一天飯
- 四天飯
- 五天飯
接著再分「兩天飯」及「三天飯」兩種情形討論。
兩天飯：在此情形之下，因為麵不得相鄰，所以必為「麵飯麵飯麵」。於是飯有兩種選擇。因為總共有三天麵，而麵總共只有兩種，所以一定會有兩天吃到重複的麵，第三天吃不同的麵，所以我們先決定會重複的麵種，共有兩種。最後是這三個麵在排列（其中兩個重複）。所以總共有 \(2\times 2\times 3=12\) 種組合方法。
三天飯：在此情形之下，先排飯，再把麵插空隙。先排飯又有分兩種，一種是相同的飯不會相鄰，另一種是相同的飯有可能相鄰。
- __咖__排__咖__，這種情形下兩個麵可以亂插，所以是 \(C^4_2\times 2=12\) 種。
- __排__咖__排__，同上，共12種。
- __排__排__咖__，這種情形下，一定要有一個麵插到兩個「排」的中間，也就是「__排麵排__咖__」，剩下一個麵再插到剩下空隙中，共有 \(2\times 3\) 種。
- __咖__咖__排__，同上，共 \(6\) 種。
- __咖__排__排__，同上，共 \(6\) 種。
- __排__咖__咖__，同上，共 \(6\) 種。
下面這兩題是相同的解法。
從1到20的自然數中取出三個不同的數，則三數成等差的取法有多少種？
從1到20的自然數中取出兩個不同的數，則兩數和為偶數的取法有多少種？
聽說此解法取自徐氏數學，未驗證。
我的做法是按照公差 \(d=9, d=8, ..., d=1\) 來討論，並找出規律。
一列火車從第一車到第十車共有十節車廂，若要求此三節車廂兩兩不相銜接，則共有多少種方法？
先將不相鄰的三節車廂挑出，剩下七節車廂，有八個空隙，再把這三節車廂插空隙。
一開始看起來不能用插空隙，可是其實可以，例如下圖
| V | V | V | V | V | V | V | V | |||||||
| O | O | O | O | O | O | O |
| V | V | V | ||||||||||||
| O | O | O | O | O | O | O |
| 1 | 5 | 8 | ||||||||||||
| V | V | V | ||||||||||||
| O | O | O | O | O | O | O | ||||||||
| 2 | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 10 |
有18本不同的書，按下述條件求其分法：
| 三堆不同數量（5, 6, 7） | 兩堆相同數量（5, 5, 8） | |
| 分三堆 | \(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\) | \(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\cdot \frac{1}{2!}\) |
| 不確定三人 | \(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\cdot 3!\) | \(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\cdot \frac{3!}{2!}\) |
| 確定三人 | \(\binom{18}{5}\binom{13}{6}\binom{7}{7}\) | \(\binom{18}{5}\binom{13}{5}\binom{8}{8}\) |
單淘汰賽
| ㄇ | ||||||
| ㄇ | ㄇ | |||||
| ㄇ | ㄇ | ㄇ | ㄇ |
| ㄇ | ||||||
| ㄇ | Γ | |||||
| ㄇ | ㄇ | | | ㄇ |
| ㄇ | ||||||
| Γ | Γ | |||||
| | | ㄇ | | | ㄇ |
有4相同紅球、2相同藍球及2相同綠球全分給5人，若每人可拿一顆球或兩顆不同顏色的球（但不可不拿），則共有幾種不同的分配方式。（台中一中105段考）
注意到，必有四人各拿一顆紅球，也就是必有一人沒拿紅球，沒拿紅球的這個人有五種選擇。 接著，沒拿紅球的這個人，他所拿到的球，有三種情形。 1. 只拿一顆藍球，把五個人拿的球用符號表示，例如 RRRRB BGG 表示第一個人拿RB，第二個人拿RG，第三個人拿RG，第四個人只拿R，第五個人只拿B 或是 RRRRB G BG 表示第一個人拿RG，第二個人只拿R，第三個人拿RB，第四個人拿RG，第五個人只拿B 所以有BGG三個字母在四個位置排列，有P4取3除以2=12，再乘以一開始的五，所以是60。 2. 只拿一顆綠球 跟情形一類似。 3. 拿一顆藍球一顆綠球，把五個人拿的球用符號表示，例如 RRRRB G B G 表示第一個人拿RG，第二個人只拿R，第三個人拿RB，第四個人只拿R，第五個人拿BG 所以變成BG兩個字母在四個位置排列，有P4取2種，再乘以一開始的五，所以是60。 總共180
Long Division \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} & & a_n x^{n-1} & + & (a_{n-1}+ba_n)x^{n-2} & + & [a_{n-2}+b(a_{n-1}+ba_n)]x^{n-3} & + & \cdots \\ \hline x-b & ) & a_nx^n & + & a_{n-1}x^{n-1} & + & a_{n-2}x^{n-2} & + & \cdots \\ & & a_nx^n & - & ba_n x^{n-1} \\ \hline &&&& (a_{n-1}+ba_n)x^{n-1} & + & a_{n-2}x^{n-2} \\ &&&& (a_{n-1}+ba_n)x^{n-1} & - & b(a_{n-1}+ba_n)x^{n-2} \\ \hline &&&&&&[a_{n-2}+b(a_{n-1}+ba_n)]x^{n-2}&+&\cdots \\ \end{array} \] Synthetic Division \[ \begin{array}{rrrrrrrr} a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & | &b \\ & ba_n & b(a_{n-1}+ba_n) & \cdots & | \\ \hline a_n & (a_{n-1}+ba_n) & [a_{n-2}+b(a_{n-1}+ba_n)] & \cdots \end{array} \]
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