國一下不等式，確定當選最少票數問題

題目：有 \(n\) 位候選人，要選出 \(m\) 位，共有 \(p\) 票，請問得幾票就確定當選？

解法：假設 \(n\) 位候選人的得票數由大到小排列為 \[x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_m \color{red}{>} x_{m+1} \geq \cdots \geq x_{n} \geq 0.\] 於是我們有 \[ \begin{array}{lcl} p &=&\underline{x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1}}+x_{m+2} \cdots +x_{n} \\ &\stackrel{x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_m \geq x_{m+1}}{\geq}& \underbrace{x_{m+1}+x_{m+1}+\cdots +x_{m+1}+x_{m+1}}_{m+1 \text{ times}}+x_{m+2}+ \cdots +x_{n} \\ &\geq& \underline{(m+1)\cdot x_{m+1}}+x_{m+2}+ \cdots +x_{n} \\ &\stackrel{\color{red}{x_{m+2}} \geq \cdots \geq x_{n} \geq 0}{\geq}& (m+1)\cdot x_{m+1}. \end{array} \] 所以 \[\frac{p}{m+1} \geq x_{m+1}.\] 只要得 \(\left\lceil \frac{p}{m+1}\right\rceil+1\) 票（或以上）即確定當選。其中 \(\lceil x\rceil\) 是天花板符號，也就是取不小於 \(x\) 的最小整數。